Математический анализ Примеры

$\int (- 6 x + 2) {(- 3 x^{2} + 2 x + 5)}^{3} d x$

Этап 1

Пусть $u = - 3 x^{2} + 2 x + 5$ . Тогда $d u = (- 6 x + 2) d x$ , следовательно $\frac{1}{- 6 x + 2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = - 3 x^{2} + 2 x + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 2 x + 5]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$- 6 x + 2 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 6 x + 2 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $- 6 x + 2$ и $0$ .

$- 6 x + 2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{3} d u$

Этап 2

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $- 3 x^{2} + 2 x + 5$ .

$\frac{1}{4} {(- 3 x^{2} + 2 x + 5)}^{4} + C$