Математический анализ Примеры

$2^{2^{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 2^{x}$ и $g (x) = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2^{x}$ .

$2^{2^{x}} \ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$2^{2^{x}} \ln (2) (2^{x} \ln (2))$

Этап 3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{x + 2^{x}} \ln (2) \ln (2)$

Этап 4

Возведем $\ln (2)$ в степень $1$ .

$2^{x + 2^{x}} (\ln^{1} (2) \ln (2))$

Этап 5

Возведем $\ln (2)$ в степень $1$ .

$2^{x + 2^{x}} (\ln^{1} (2) \ln^{1} (2))$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{x + 2^{x}} {\ln (2)}^{1 + 1}$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$2^{x + 2^{x}} \ln^{2} (2)$