Математический анализ Примеры

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $e^{x} + x e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Этап 3.6.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

Этап 3.6.2.2

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$

Этап 3.7.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} + x e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Умножим на $1$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + x e^{x}}$

Этап 3.7.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x}$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + e^{x} x}$

Этап 3.7.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x)}$

Этап 3.7.3

Умножим $x e^{x} + 2 e^{x}$ на $\frac{1}{e^{x} (1 + x)}$ .

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

Этап 3.7.4

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x}$ .

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

Этап 3.7.4.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x)}$

Этап 3.7.4.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

Этап 3.7.5

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

Этап 3.7.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 2}{1 + x}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 2}{1 + x}$