Математический анализ Примеры

$\int [\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x] d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} d x + \int x d x$

Этап 3

Умножим на $1$ .

$\int \frac{\sin (x) \cdot 1}{\cos^{2} (x)} d x + \int x d x$

Этап 4

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\int \frac{\sin (x) \cdot 1}{\cos (x) \cos (x)} d x + \int x d x$

Этап 5

Разделим дроби.

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} d x + \int x d x$

Этап 6

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\int \tan (x) \frac{1}{\cos (x)} d x + \int x d x$

Этап 7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\int \tan (x) \sec (x) d x + \int x d x$

Этап 8

Поскольку производная $\sec (x)$ равна $\tan (x) \sec (x)$ , интеграл $\tan (x) \sec (x)$ равен $\sec (x)$ .

$\sec (x) + C + \int x d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\sec (x) + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 10

Упростим.

$\sec (x) + \frac{1}{2} x^{2} + C$