Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x (x^{2} + 1)}$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{1} x^{2} + x \cdot 1}$

Этап 1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{1 + 2} + x \cdot 1}$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{3} + x \cdot 1}$

Этап 1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{3} + x}$

Этап 2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Этап 3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Этап 3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Этап 3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Этап 3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x}{x^{3}}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{1}}{x^{3}}}$

Этап 3.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{3}}}$

Этап 3.2.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}}}$

Этап 3.2.2.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}}}$

Этап 3.2.2.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 5

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 8

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{1 + 0}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 9$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0}$

Этап 9.1.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Этап 9.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{0}{1}$

Этап 9.3

Разделим $0$ на $1$ .

$0$