Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.6.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.6.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.6.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.6.3.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.6.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 1.6.3.2.2

Добавим $6 x$ и $0$ .

$\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 3)}^{2}})$

Этап 2.2

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}})$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Этап 2.3.3

Умножим ${(x^{2} + 3)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 3)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - x (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Этап 2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из ${(x^{2} + 3)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) - 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $- 2 x ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Этап 2.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3) + (x^{2} + 3) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]))$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{{(x^{2} + 3)}^{4}})$

Этап 2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}})$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 6 (\frac{(x^{2} + 3) (x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3)))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}})$

Этап 2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Этап 2.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Этап 2.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Этап 2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Этап 2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Этап 2.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Этап 2.14

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{2} + 3 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Этап 2.15

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}})$

Этап 2.16

Объединим $6$ и $\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (- 3 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.17.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.2.1

Умножим $- 3$ на $6$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot 3}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 2.17.2.2

Умножим $6$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 18 x^{2} + 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 3$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 3) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.6.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.3.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.6.3.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.6.3.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 3 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.6.3.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.6.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} + 6 x - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{6 x + 0}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.1.6.3.2.2

Добавим $6 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{6 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$6 x = 0$

Этап 5.3

Разделим каждый член $6 x = 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $6 x = 0$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{- 18 {(0)}^{2} + 18}{{({(0)}^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{- 18 \cdot 0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 18$ на $0$ .

$\frac{0 + 18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 9.1.3

Добавим $0$ и $18$ .

$\frac{18}{{(0^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{18}{{(0 + 3)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{18}{3^{3}}$

Этап 9.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{18}{27}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $18$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\frac{9 (2)}{27}$

Этап 9.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Этап 9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3}$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 3}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 3}$

Этап 11.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 3}$

Этап 11.2.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f (0) = \frac{0}{3}$

Этап 11.2.3

Разделим $0$ на $3$ .

$f (0) = 0$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 3}$ .

$(0, 0)$ — локальный минимум

Этап 13