Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{3} (- 3 | x |) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 2}^{3} - 3 | x | d x$

Этап 2

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- 3 \int_{- 2}^{3} | x | d x$

Этап 3

Разобьем интеграл в зависимости от того, где $x$ принимает положительные и отрицательные значения.

$- 3 (\int_{- 2}^{0} - x d x + \int_{0}^{3} x d x)$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 3 (- \int_{- 2}^{0} x d x + \int_{0}^{3} x d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 3 (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0}) + \int_{0}^{3} x d x)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- 3 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0}) + \int_{0}^{3} x d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 3 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- 3 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 2$ .

$- 3 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $0$ .

$- 3 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 3 (- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- 3 (- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 3 (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 (- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 3 (- (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 3 (- (0 - \frac{4}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 3 (- (0 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 3 (- (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 (- (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 (- (0 - \frac{2}{1}) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- 3 (- (0 - 1 \cdot 2) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 3 (- (0 - 2) + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.6

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 3 (- - 2 + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.7

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 3 (2 + (\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- 3 (2 + \frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 8.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 3 (2 + \frac{9}{2} - \frac{0}{2})$

Этап 8.2.3.10

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- 3 (2 + \frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 8.2.3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 3 (2 + \frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.10.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 (2 + \frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.10.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 (2 + \frac{9}{2} - \frac{0}{1})$

Этап 8.2.3.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 3 (2 + \frac{9}{2} - 0)$

Этап 8.2.3.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 3 (2 + \frac{9}{2} + 0)$

Этап 8.2.3.12

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$- 3 (2 + \frac{9}{2})$

Этап 8.2.3.13

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})$

Этап 8.2.3.14

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})$

Этап 8.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 3 \frac{2 \cdot 2 + 9}{2}$

Этап 8.2.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.16.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- 3 \frac{4 + 9}{2}$

Этап 8.2.3.16.2

Добавим $4$ и $9$ .

$- 3 (\frac{13}{2})$

Этап 8.2.3.17

Объединим $- 3$ и $\frac{13}{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot 13}{2}$

Этап 8.2.3.18

Умножим $- 3$ на $13$ .

$\frac{- 39}{2}$

Этап 8.2.3.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{39}{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{39}{2}$

Десятичная форма:

$- 19.5$

Форма смешанных чисел:

$- 19 \frac{1}{2}$

Этап 10