Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} {(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}}$ в виде $e^{\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})$ , вынося $\frac{2}{x}$ из логарифма.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{3 x} + 5)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \ln (e^{3 x} + 5)}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{2}{x}$ и $\ln (e^{3 x} + 5)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 \ln (e^{3 x} + 5)}{x}}$

Этап 2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + 5)}{x}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{3 x} + 5)}{lim_{x \to \infty} x}}$

Этап 3.1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Этап 3.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + 5)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + 5)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + 5)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = e^{3 x} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{3 x} + 5$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{3 x} + 5$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.3

По правилу суммы производная $e^{3 x} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.7

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.8

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.9

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (3 e^{3 x} + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.10

Добавим $3 e^{3 x}$ и $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} \cdot 3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.11

Объединим $3$ и $\frac{1}{e^{3 x} + 5}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{e^{3 x} + 5} e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.12

Объединим $\frac{3}{e^{3 x} + 5}$ и $e^{3 x}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}{1}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} \cdot 1}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}$ на $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}$

Этап 4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{2 \cdot 3 \frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + 5}}$

Этап 5.1.2

Поскольку показатель степени $3 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{3 x}$ стремится к $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + 5}}$

Этап 5.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 5}}$

Этап 5.1.3.2

Поскольку показатель степени $3 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{3 x}$ стремится к $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 5}}$

Этап 5.1.3.3

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty + 5}}$

Этап 5.1.3.4

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 5.1.3.5

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 5.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Этап 5.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Этап 5.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Этап 5.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Этап 5.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Этап 5.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Этап 5.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Этап 5.3.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Этап 5.3.7

По правилу суммы производная $e^{3 x} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Этап 5.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Этап 5.3.8.1.2

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Этап 5.3.8.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Этап 5.3.8.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Этап 5.3.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}}$

Этап 5.3.8.4

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [5]}}$

Этап 5.3.8.5

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [5]}}$

Этап 5.3.9

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 0}}$

Этап 5.3.10

Добавим $3 e^{3 x}$ и $0$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x}}}$

Этап 5.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x}}}$

Этап 5.4.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}}$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}}$

Этап 5.4.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{2 \cdot 3 \cdot 1}$

Этап 7

Умножим $2 \cdot 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2$ на $3$ .

$e^{6 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $6$ на $1$ .

$e^{6}$