Математический анализ Примеры

$\int (\sqrt{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{2}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \sqrt{x^{3}} + \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sqrt{x^{3}} d x + \int \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int x^{\frac{2}{3}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 7

Упростим.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$