Математический анализ Примеры

$x^{4} (x + y) = y^{2} (3 x - y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (x^{4} (x + y)) = \frac{d}{d y} (y^{2} (3 x - y))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x^{4}$ и $g (y) = x + y$ .

$x^{4} \frac{d}{d y} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x^{4} (x' + \frac{d}{d y} [y]) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) \frac{d}{d y} [x^{4}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{4}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 u^{3} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x^{4} (x' + 1) + (x + y) (4 x^{3} \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.6

Перенесем $4$ влево от $x + y$ .

$x^{4} (x' + 1) + 4 \cdot (x + y) x^{3} \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.7

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x^{4} (x' + 1) + 4 (x + y) x^{3} x'$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 (x + y) x^{3} x'$

Этап 2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x + 4 y) x^{3} x'$

Этап 2.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + (4 x \cdot x^{3} + 4 y x^{3}) x'$

Этап 2.8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} x' + x^{4} \cdot 1 + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

Этап 2.8.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x \cdot x^{3} x' + 4 y x^{3} x'$

Этап 2.8.5.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x) x' + 4 y x^{3} x'$

Этап 2.8.5.2.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 (x^{3} x^{1}) x' + 4 y x^{3} x'$

Этап 2.8.5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{3 + 1} x' + 4 y x^{3} x'$

Этап 2.8.5.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4} x' + x^{4} + 4 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

Этап 2.8.5.3

Добавим $x^{4} x'$ и $4 x^{4} x'$ .

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 y x^{3} x'$

Этап 2.8.6

Изменим порядок членов.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$y^{2} \frac{d}{d y} [3 x - y] + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $3 x - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 3.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 x$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$y^{2} (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$y^{2} (3 x' + \frac{d}{d y} [- y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$y^{2} (3 x' - \frac{d}{d y} [y]) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y^{2} (3 x' - 1 \cdot 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + (3 x - y) (2 y)$

Этап 3.8

Перенесем $2$ влево от $3 x - y$ .

$y^{2} (3 x' - 1) + 2 \cdot (3 x - y) y$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x - y) y$

Этап 3.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + (2 (3 x) + 2 (- y)) y$

Этап 3.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} (3 x') + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Этап 3.9.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1

Перенесем $3$ влево от $y^{2}$ .

$3 \cdot y^{2} x' + y^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Этап 3.9.4.2

Перенесем $- 1$ влево от $y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - 1 \cdot y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Этап 3.9.4.3

Перепишем $- 1 y^{2}$ в виде $- y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 2 (3 x) y + 2 (- y) y$

Этап 3.9.4.4

Умножим $3$ на $2$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y + 2 (- y) y$

Этап 3.9.4.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y \cdot y$

Этап 3.9.4.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y)$

Этап 3.9.4.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 (y^{1} y^{1})$

Этап 3.9.4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{1 + 1}$

Этап 3.9.4.9

Добавим $1$ и $1$ .

$3 y^{2} x' - y^{2} + 6 x y - 2 y^{2}$

Этап 3.9.4.10

Вычтем $2 y^{2}$ из $- y^{2}$ .

$3 y^{2} x' - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 3.9.5

Изменим порядок членов.

$- 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' = - 3 y^{2} + 3 y^{2} x' + 6 x y$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $3 y^{2} x'$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} + 5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.2

Вычтем $x^{4}$ из обеих частей уравнения.

$5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x'$ из $5 x^{4} x' + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x'$ из $5 x^{4} x'$ .

$x' (5 x^{4}) + 4 x^{3} y x' - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x'$ из $4 x^{3} y x'$ .

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) - 3 y^{2} x' = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x'$ из $- 3 y^{2} x'$ .

$x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $x'$ из $x' (5 x^{4}) + x' (4 x^{3} y)$ .

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $x'$ из $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y) + x' (- 3 y^{2})$ .

$x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ на $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}) = - 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}$ на $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ .

$\frac{x' (5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{(3) y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{- x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Этап 5.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{3 y^{2}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} + \frac{6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Этап 5.4.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}} - \frac{x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Этап 5.4.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- 3 y^{2} + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Этап 5.4.3.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y^{2}$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2}) + 6 x y - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Этап 5.4.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $6 x y$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2}) - (- 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Этап 5.4.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y^{2}) - (- 6 x y)$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Этап 5.4.3.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{4}$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Этап 5.4.3.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y^{2} - 6 x y) - (x^{4})$ .

$x' = \frac{- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Этап 5.4.3.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.8.1

Перепишем $- (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ в виде $- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})$ .

$x' = \frac{- 1 (3 y^{2} - 6 x y + x^{4})}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Этап 5.4.3.2.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 y^{2} - 6 x y + x^{4}}{5 x^{4} + 4 x^{3} y - 3 y^{2}}$