Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 2}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} \sqrt{x^{2} - 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Этап 1.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Этап 1.1.2.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Этап 1.1.2.1.4

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Этап 1.1.2.3.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{\sqrt{4 - 4}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Этап 1.1.2.3.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Этап 1.1.2.3.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Этап 1.1.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 2} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 4}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 4}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 4}$ в виде ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.10

Перенесем ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.11

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.13

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.14

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.15

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{2}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} x}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.16

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.17

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.18

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.3.19

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.20

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.21

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Этап 1.3.22

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 1.5

Перепишем ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} \cdot 1$

Этап 1.6

Умножим $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Этап 2

Так как числитель положителен, а знаменатель $\sqrt{x^{2} - 4}$ стремится к нулю и больше нуля для $x$ около $2$ справа, функция неограниченно растет.

$\infty$