Математический анализ Примеры

$\int 4 x^{3} (4 x^{4} + 5) d x$

Этап 1

Пусть $u = 4 x^{4} + 5$ . Тогда $d u = 16 x^{3} d x$ , следовательно $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 x^{4} + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 5]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $4 x^{4} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{4}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $4$ на $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$16 x^{3} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $16 x^{3}$ и $0$ .

$16 x^{3}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 4 u \frac{1}{16} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{16}$ и $4$ .

$\int \frac{4}{16} u d u$

Этап 2.2

Объединим $\frac{4}{16}$ и $u$ .

$\int \frac{4 u}{16} d u$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $4$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 u$ .

$\int \frac{4 (u)}{16} d u$

Этап 2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

Этап 2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{u}{4} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int u d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} u^{2} + C$

Этап 5.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{8} u^{2} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{1}{8} {(4 x^{4} + 5)}^{2} + C$