Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{10}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{5}}{10}$ по $x$ равна $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Этап 2.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Этап 2.4

Объединим $\frac{5}{10}$ и $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $5$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Этап 2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Этап 2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{6 x^{3}}$ по $x$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Этап 3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Этап 3.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Этап 3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Этап 3.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Этап 3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{2 - 6})$

Этап 3.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 4})$

Этап 3.8

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6} x^{- 4}$

Этап 3.9

Объединим $\frac{- 3}{6}$ и $x^{- 4}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{6}$

Этап 3.10

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6 x^{4}}$

Этап 3.11

Сократим общий множитель $- 3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{6 x^{4}}$

Этап 3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{3 (2 x^{4})}$

Этап 3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (2 x^{4})}$

Этап 3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2 x^{4}}$

Этап 3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$