Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sin (x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{\sin (x)}$ в виде $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sin (x)})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln (x^{\sin (x)})$ , вынося $\sin (x)$ из логарифма.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sin (x) \ln (x)}$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \ln (x)}$

Этап 3

Перепишем $\sin (x) \ln (x)$ в виде $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

Этап 4.1.2

Когда $x$ стремится к $0$ справа, $\ln (x)$ неограниченно убывает.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

Этап 4.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \csc (x)}}$

Этап 4.1.3.2

Когда $x$ стремится к $0$ справа, функция неограниченно возрастает.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Этап 4.1.3.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Этап 4.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

Этап 4.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

Этап 4.3.3

Перепишем $\frac{1}{\sin (x)}$ в виде $\sin^{- 1} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin^{- 1} (x)]}}$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Этап 4.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Этап 4.3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Этап 4.3.5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \cos (x)}}$

Этап 4.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x)}}$

Этап 4.3.6.2

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Этап 4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}$

Этап 4.5

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x \cos (x)}}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{x \cos (x)}}$

Этап 4.7

Разделим дроби.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 4.8

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \tan (x)}$

Этап 4.9

Объединим $\frac{\sin (x)}{x}$ и $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

Этап 5

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

Этап 6

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Этап 6.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Этап 6.1.2.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Этап 6.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Этап 6.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Этап 6.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Этап 6.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.5.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Этап 6.1.2.5.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Этап 6.1.2.5.3

Умножим $0$ на $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Этап 6.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Этап 6.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{- \frac{0}{0}}$

Этап 6.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 6.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 6.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 6.3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 6.3.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 6.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Изменим порядок членов.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 6.3.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.2.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 6.3.5.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 6.3.5.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 6.3.5.2.4

Объединим $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ и $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 6.3.5.2.5

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.2.5.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\tan (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 6.3.5.2.5.2

Выразим $\cos (x) \tan (x)$ через синусы и косинусы.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 6.3.5.2.5.3

Сократим общие множители.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 6.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{1}}$

Этап 6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Чтобы записать $\sin (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

Этап 6.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

Этап 6.5

Разделим $\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ на $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Этап 7.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Этап 7.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Этап 7.4

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Этап 7.5

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Этап 7.6

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Этап 7.7

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Этап 7.8

Вынесем степень $2$ в выражении $\cos^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}}$

Этап 7.9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 8.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 8.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{- \frac{0 + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 9.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 9.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1^{2}}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 9.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 9.1.5

Умножим $0$ на $1$ .

$e^{- \frac{0 + 0}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 9.1.6

Добавим $0$ и $0$ .

$e^{- \frac{0}{\cos^{2} (0)}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{- \frac{0}{1^{2}}}$

Этап 9.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$e^{- \frac{0}{1}}$

Этап 9.3

Разделим $0$ на $1$ .

$e^{- 0}$

Этап 9.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e^{0}$

Этап 10

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$