Математический анализ Примеры

$x^{2} y + 2 y^{3} = 3 x + 2 y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x + 2 y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} y + 2 y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.2.4

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (3 y^{2} y')$

Этап 2.3.4

Умножим $3$ на $2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 6 y^{2} y'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x + 2 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 + 2 y'$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$2 y' + 3$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y' = 2 y' + 3$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 y'$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' + 2 x y + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3$

Этап 5.2

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3 - 2 x y$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y' + 6 y^{2} y' - 2 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 6 y^{2} y' - 2 y' = 3 - 2 x y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $6 y^{2} y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (6 y^{2}) - 2 y' = 3 - 2 x y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $- 2 y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (6 y^{2}) + y' \cdot - 2 = 3 - 2 x y$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{2}) + y' (6 y^{2})$ .

$y' (x^{2} + 6 y^{2}) + y' \cdot - 2 = 3 - 2 x y$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x^{2} + 6 y^{2}) + y' \cdot - 2$ .

$y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$ на $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2) = 3 - 2 x y$ на $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ .

$\frac{y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2)}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 6 y^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x^{2} + 6 y^{2} - 2)}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3}{x^{2} + 6 y^{2} - 2} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{3 - 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 2 x y}{x^{2} + 6 y^{2} - 2}$