Математический анализ Примеры

$4 y^{2} + x y - 2 x^{2} = 3$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (4 y^{2} + x y - 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 y^{2} + x y - 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 y^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $4$ .

$8 y y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$8 y y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$8 y y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 y y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 2.3.4

Умножим $y$ на $1$ .

$8 y y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 y y' + x y' + y - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 y y' + x y' + y - 2 (2 x)$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$8 y y' + x y' + y - 4 x$

Этап 2.5

Изменим порядок членов.

$8 y y' + x y' - 4 x + y$

Этап 3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$8 y y' + x y' - 4 x + y = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Добавим $4 x$ к обеим частям уравнения.

$8 y y' + x y' + y = 4 x$

Этап 5.1.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$8 y y' + x y' = 4 x - y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $8 y y' + x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $8 y y'$ .

$y' (8 y) + x (y') = 4 x - y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' (8 y) + y' (x) = 4 x - y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (8 y) + y' (x)$ .

$y' (8 y + x) = 4 x - y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (8 y + x) = 4 x - y$ на $8 y + x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (8 y + x) = 4 x - y$ на $8 y + x$ .

$\frac{y' (8 y + x)}{8 y + x} = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $8 y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (8 y + x)}{8 y + x} = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{4 x - y}{8 y + x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x - y}{8 y + x}$