Математический анализ Примеры

$y = k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$

Этап 1

По правилу суммы производная $k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$ по $k$ имеет вид $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ .

$\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\sqrt{x}$ является константой относительно $k$ , производная $k \sqrt{x}$ по $k$ равна $\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k]$ .

$\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ имеет вид $n k^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sqrt{x} \cdot 1 + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Этап 2.3

Умножим $\sqrt{x}$ на $1$ .

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{k}$ в виде $k^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x k^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Поскольку $x$ является константой относительно $k$ , производная $x k^{\frac{1}{2}}$ по $k$ равна $x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sqrt{x} + x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ имеет вид $n k^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{- \frac{1}{2}})$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $k^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{x} + x \frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.10

Объединим $x$ и $\frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sqrt{x} + \frac{x k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.11

Перенесем $k^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{x} + \frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$\frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x}$