Математический анализ Примеры

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

Этап 1

Пусть $y = f (x)$ , возьмем натуральный логарифм обеих частей $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Этап 2

Продифференцируем выражение, используя цепное правило, учитывая, что $y$ — функция от $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем левую часть $\ln (y)$ , используя цепное правило.

$\frac{y'}{y} = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Этап 2.2

Продифференцируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Дифференцируем $\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \ln (e^{x} + x e^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (e^{x} + x e^{x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

Этап 2.2.2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (e^{x} + x e^{x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

Этап 2.2.3.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $\frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$ на $\frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Этап 2.2.4.2

По правилу суммы производная $e^{x} + x e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.7

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Этап 2.2.8.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.2.1

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

Этап 2.2.8.2.2

Добавим $e^{x}$ и $e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$

Этап 2.2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Этап 2.2.9.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} + x e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Этап 2.2.9.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + e^{x} x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Этап 2.2.9.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Этап 2.2.9.3

Умножим $x e^{x} + 2 e^{x}$ на $\frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Этап 2.2.9.4

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.4.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Этап 2.2.9.4.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $2 e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Этап 2.2.9.4.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Этап 2.2.9.5

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Этап 2.2.9.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Этап 2.2.9.6

Изменим порядок множителей в $\frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)}$

Этап 3

Изолируем $y'$ и заменим исходную функцию на $y$ в правой части.

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

Этап 4

Сократим общий множитель $\ln (e^{x} + x e^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$