Математический анализ Примеры

${(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}]$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Этап 8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Этап 8.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}])$

Этап 8.3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}])$

Этап 8.3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}])$

Этап 8.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{2}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Этап 10

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 11

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Этап 13.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Этап 14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Этап 15

Объединим $x^{- \frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 16

Перенесем $x^{- \frac{3}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.3

Развернем $(2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1.1

Сократим общий множитель $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 17.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 + 2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.2

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ в числитель.

$1 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{- 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.2.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (1) \frac{- 1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.2.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ из $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$1 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (1) \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x^{\frac{2}{2}})} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.2.4

Сократим общий множитель.

$1 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 \cdot 1 \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.2.5

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1.3.1

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{- 1}{x^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.3.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- 1}{x^{1}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.4

Упростим.

$1 + \frac{- 1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.6

Объединим.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.7

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1.7.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{\frac{2}{2}} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.7.5

Разделим $2$ на $2$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x^{1} \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.8

Упростим $x^{1} \cdot 2$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot 1}{x \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.9

Умножим $2$ на $1$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1.10.1

Сократим общий множитель.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{2}{x \cdot 2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.10.2

Перепишем это выражение.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 17.4.1.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.4.1.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1.12.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ в числитель.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.4.1.12.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.4.1.12.3

Сократим общий множитель.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.4.1.12.4

Перепишем это выражение.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.4.1.13

Умножим $\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.4.1.14

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1.14.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Этап 17.4.1.14.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{1 + 3}{2}}}$

Этап 17.4.1.14.3

Добавим $1$ и $3$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{\frac{4}{2}}}$

Этап 17.4.1.14.4

Разделим $4$ на $2$ .

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{2}}$

Этап 17.4.1.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 17.4.2

Добавим $- \frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x}$ .

$1 + 0 - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 17.4.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$