Математический анализ Примеры

$\frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.6.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.8

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.8.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$- 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.9

Умножим $- 3$ на $- 4$ .

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$12 x^{- 4} - x^{- 2}$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{4}} - x^{- 2}$

Этап 5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $12$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{12}{x^{4}} - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 6.2

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}$