Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{1}{2}} - 5 e^{- x^{4} - \frac{1}{4}}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем член $- 5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{- x^{4} - \frac{1}{4}}$

Этап 1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$- 5 e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} - x^{4} - \frac{1}{4}}$

Этап 1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$- 5 e^{- lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{4} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{4}}$

Этап 1.4

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$- 5 e^{- {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{4} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{4}}$

Этап 1.5

Найдем предел $\frac{1}{4}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$- 5 e^{- {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{4} - \frac{1}{4}}$

Этап 2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$- 5 e^{- {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- 5 e^{- \frac{1^{4}}{2^{4}} - \frac{1}{4}}$

Этап 3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$- 5 e^{- \frac{1}{2^{4}} - \frac{1}{4}}$

Этап 3.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$- 5 e^{- \frac{1}{16} - \frac{1}{4}}$

Этап 3.2

Чтобы записать $- \frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- 5 e^{- \frac{1}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$- 5 e^{- \frac{1}{16} - \frac{4}{4 \cdot 4}}$

Этап 3.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$- 5 e^{- \frac{1}{16} - \frac{4}{16}}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 5 e^{\frac{- 1 - 4}{16}}$

Этап 3.5

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$- 5 e^{\frac{- 5}{16}}$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 5 e^{- \frac{5}{16}}$

Этап 3.7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{e^{\frac{5}{16}}}$

Этап 3.8

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{e^{\frac{5}{16}}}$ .

$\frac{- 5}{e^{\frac{5}{16}}}$

Этап 3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{e^{\frac{5}{16}}}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{5}{e^{\frac{5}{16}}}$

Десятичная форма:

$- 3.65807814 \dots$