Математический анализ Примеры

$x^{2} - 4 x y + 2 y^{2} = - 4 x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x y$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y y')$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 4 y y'$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 4 (x y') - 4 y + 4 y y'$

Этап 2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x - 4 x y' - 4 y + 4 y y'$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y = - 4$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x y' + 4 y y' - 4 y = - 4 - 2 x$

Этап 5.1.2

Добавим $4 y$ к обеим частям уравнения.

$- 4 x y' + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $4 y'$ из $- 4 x y' + 4 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4 y'$ из $- 4 x y'$ .

$4 y' (- x) + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $4 y'$ из $4 y y'$ .

$4 y' (- x) + 4 y' y = - 4 - 2 x + 4 y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $4 y'$ из $4 y' (- x) + 4 y' y$ .

$4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ на $4 (- x + y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ на $4 (- x + y)$ .

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $- x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (- x + y)$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.1.5.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Этап 5.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{1}{- x + y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Этап 5.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(- x + y) \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $\frac{1}{- x + y}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{2}{(- x + y) \cdot 2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Этап 5.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(- x + y) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{2}{2 (- x + y)} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Этап 5.3.3.5

Чтобы записать $\frac{y}{- x + y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 5.3.3.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 (- x + y)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Умножим $\frac{y}{- x + y}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{(- x + y) \cdot 2}$

Этап 5.3.3.6.2

Изменим порядок множителей в $(- x + y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 2 - x + y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.8

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$y' = \frac{- 2 - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.9.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.9.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2) - (x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.9.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - (x)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.9.4

Вынесем множитель $- 1$ из $2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x) - (- 2 y)}{2 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.9.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2 + x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- x + y)}$

Этап 5.3.3.9.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) + y)}$

Этап 5.3.3.9.7

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) - 1 (- y))}$

Этап 5.3.3.9.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x - y))}$

Этап 5.3.3.9.9

Перепишем $- (x - y)$ в виде $- 1 (x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

Этап 5.3.3.9.10

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

Этап 5.3.3.9.11

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$