Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - x - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Этап 1.1.2.3

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{3^{2} - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{9 - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{9 - 3 - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Этап 1.1.2.5.3

Вычтем $6$ из $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{0}{4 - lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}}$

Этап 1.1.3.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1}}$

Этап 1.1.3.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1}}$

Этап 1.1.3.1.5

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}$

Этап 1.1.3.1.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 \cdot 3 + 1}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{15 + 1}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Добавим $15$ и $1$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{16}}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{4^{2}}}$

Этап 1.1.3.3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{4 - \sqrt{5 x + 1}} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Этап 1.3.6

Добавим $2 x - 1$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $4 - \sqrt{5 x + 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]}$

Этап 1.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x + 1}$ в виде ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.9.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 1.3.9.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 5 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x + 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

Этап 1.3.9.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

Этап 1.3.9.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x + 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

Этап 1.3.9.4

По правилу суммы производная $5 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]))}$

Этап 1.3.9.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}$

Этап 1.3.9.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}$

Этап 1.3.9.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0))}$

Этап 1.3.9.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Этап 1.3.9.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Этап 1.3.9.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Этап 1.3.9.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Этап 1.3.9.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Этап 1.3.9.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Этап 1.3.9.13

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0))}$

Этап 1.3.9.14

Добавим $5$ и $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5)}$

Этап 1.3.9.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5)}$

Этап 1.3.9.16

Объединим $\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $5$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2}}$

Этап 1.3.9.17

Перенесем $5$ влево от ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{5 \cdot {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Этап 1.3.9.18

Перенесем ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.3.10

Вычтем $\frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ из $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{- \frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) (- \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5})$

Этап 1.5

Перепишем ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{5 x + 1}$ .

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) (- \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5})$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 3} (2 x - 1) \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$- lim_{x \to 3} 2 x - 1 \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$- (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Этап 2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Этап 2.6

Вынесем член $\frac{2}{5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}$

Этап 2.7

Внесем предел под знак радикала.

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1}$

Этап 2.8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1}$

Этап 2.9

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}$

Этап 2.10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$- (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$- (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$- (6 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (6 - 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$- 1 \cdot 5 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $5$ из $- 1 \cdot 5$ .

$5 \cdot - 1 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель.

$5 \cdot - 1 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Этап 4.3.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 2 \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Этап 4.5

Умножим $5$ на $3$ .

$- 2 \sqrt{15 + 1}$

Этап 4.6

Добавим $15$ и $1$ .

$- 2 \sqrt{16}$

Этап 4.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- 2 \sqrt{4^{2}}$

Этап 4.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- 2 \cdot 4$

Этап 4.9

Умножим $- 2$ на $4$ .

$- 8$