Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ , $a = - 2$

Этап 1

Рассмотрим функцию, используемую для нахождения линеаризации в $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Этап 2

Подставим значение $a = - 2$ в функцию линеаризации.

$L (x) = f (- 2) + f' (- 2) (x - - 2)$

Этап 3

Найдем значение $f (- 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 5$

Этап 3.2

Упростим ${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 5$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 - {(- 2)}^{2} + 5$

Этап 3.2.2.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 8 - 1 \cdot 4 + 5$

Этап 3.2.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 8 - 4 + 5$

Этап 3.2.3

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $4$ из $- 8$ .

$- 12 + 5$

Этап 3.2.3.2

Добавим $- 12$ и $5$ .

$- 7$

Этап 4

Найдем производную и ее значение при $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем производную $f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 2 x + 0$

Этап 4.1.3.2

Добавим $3 x^{2} - 2 x$ и $0$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Этап 4.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$3 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$3 \cdot 4 - 2 \cdot - 2$

Этап 4.3.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$12 - 2 \cdot - 2$

Этап 4.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$12 + 4$

Этап 4.3.2

Добавим $12$ и $4$ .

$16$

Этап 5

Подставим компоненты в функцию линеаризации, чтобы найти линеаризацию в $a$ .

$L (x) = - 7 + 16 (x - - 2)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$L (x) = - 7 + 16 x + 16 \cdot 2$

Этап 6.1.2

Умножим $16$ на $2$ .

$L (x) = - 7 + 16 x + 32$

Этап 6.2

Добавим $- 7$ и $32$ .

$L (x) = 16 x + 25$

Этап 7