Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x - (4 x^{3})$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 x - 4 x^{3}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- 4 x^{3} + 4 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 4 x^{3} + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 4 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x - (4 x^{3})$

Этап 4.1.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (x) = 4 x - 4 x^{3}$

Этап 4.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 4 x^{3} + 4 x$ .

$- 4 x^{3} + 4 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 4 x^{3} + 4 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x^{3} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 4 x = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $- 4 x$ из $4 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 1 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 1)$ .

$- 4 x (x^{2} - 1) = 0$

Этап 5.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$- 4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 5.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(0)}^{2} + 4$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 4$

Этап 9.1.2

Умножим $- 12$ на $0$ .

$0 + 4$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $4$ .

$4$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - {(0)}^{4}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{4}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

Этап 11.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 11.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(- 1)}^{2} + 4$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 12 \cdot 1 + 4$

Этап 13.1.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$- 12 + 4$

Этап 13.2

Добавим $- 12$ и $4$ .

$- 8$

Этап 14

$x = - 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{4}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - {(- 1)}^{4}$

Этап 15.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (- 1) = 2 - {(- 1)}^{4}$

Этап 15.2.1.3

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- 1) = 2 + (- 1) {(- 1)}^{4}$

Этап 15.2.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{1 + 4}$

Этап 15.2.1.3.2

Добавим $1$ и $4$ .

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{5}$

Этап 15.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- 1) = 2 - 1$

Этап 15.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (- 1) = 1$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 {(1)}^{2} + 4$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 12 \cdot 1 + 4$

Этап 17.1.2

Умножим $- 12$ на $1$ .

$- 12 + 4$

Этап 17.2

Добавим $- 12$ и $4$ .

$- 8$

Этап 18

$x = 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - {(1)}^{4}$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 2 \cdot 1 - {(1)}^{4}$

Этап 19.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = 2 - {(1)}^{4}$

Этап 19.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 2 - 1 \cdot 1$

Этап 19.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = 2 - 1$

Этап 19.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (1) = 1$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$ .

$(0, 0)$ — локальный минимум

$(- 1, 1)$ — локальный максимум

$(1, 1)$ — локальный максимум

Этап 21