Математический анализ Примеры

$\int (\frac{1}{4} v^{4} + v^{2} + v) d v$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{1}{4} v^{4} + v^{2} + v d v$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{4} v^{4} d v + \int v^{2} d v + \int v d v$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int v^{4} d v + \int v^{2} d v + \int v d v$

Этап 4

По правилу степени интеграл $v^{4}$ по $v$ имеет вид $\frac{1}{5} v^{5}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} v^{5} + C) + \int v^{2} d v + \int v d v$

Этап 5

По правилу степени интеграл $v^{2}$ по $v$ имеет вид $\frac{1}{3} v^{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} v^{5} + C) + \frac{1}{3} v^{3} + C + \int v d v$

Этап 6

По правилу степени интеграл $v$ по $v$ имеет вид $\frac{1}{2} v^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} v^{5} + C) + \frac{1}{3} v^{3} + C + \frac{1}{2} v^{2} + C$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$\frac{v^{5}}{20} + \frac{v^{3}}{3} + \frac{1}{2} v^{2} + C$

Этап 7.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{20} v^{5} + \frac{1}{3} v^{3} + \frac{1}{2} v^{2} + C$