Математический анализ Примеры

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d y} (- 4)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 y^{2} + 2 y + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 5 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $y$ , производная $- 5 y$ по $y$ равна $- 5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- x^{2}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 u \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 x \frac{d}{d y} [x])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 x x')$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - 2 x x'$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$3 y^{2} - 2 x x' + 2 y - 5$

Этап 3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $y$ , производная $- 4$ относительно $y$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 y^{2} - 2 x x' + 2 y - 5 = 0$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $3 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x x' + 2 y - 5 = - 3 y^{2}$

Этап 5.1.2

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x x' - 5 = - 3 y^{2} - 2 y$

Этап 5.1.3

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$ на $- 2 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$ на $- 2 x$ .

$\frac{- 2 x x'}{- 2 x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x x'}{- 2 x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Этап 5.2.2.2.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} + \frac{5}{- 2 x}$

Этап 5.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} - \frac{5}{2 x}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} - \frac{5}{2 x}$