Математический анализ Примеры

$\int \csc (- 7 x) \cdot \cot (- 7 x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \csc (- 7 x)$ . Тогда $d u_{2} = 7 \cot (- 7 x) \csc (- 7 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u_{2} = \cot (- 7 x) \csc (- 7 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \csc (- 7 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\csc (- 7 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (- 7 x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = - 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- 7 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\csc (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 7 x$ .

$- \csc (- 7 x) \cot (- 7 x) \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (- 7 x) \cot (- 7 x) (- 7 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.2

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$7 \csc (- 7 x) \cot (- 7 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \csc (- 7 x) \cot (- 7 x) \cdot 1$

Этап 1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Умножим $7$ на $1$ .

$7 \csc (- 7 x) \cot (- 7 x)$

Этап 1.1.3.4.2

Изменим порядок множителей в $7 \csc (- 7 x) \cot (- 7 x)$ .

$7 \cot (- 7 x) \csc (- 7 x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{7} d u_{2}$

Этап 2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{7} u_{2} + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\csc (- 7 x)$ .

$\frac{1}{7} \csc (- 7 x) + C$