Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (- 2 \sec^{2} (x) - 5 \cos (x)) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 2 \sec^{2} (x) - 5 \cos (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 2 \sec^{2} (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 5 \cos (x) d x$

Этап 3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 5 \cos (x) d x$

Этап 4

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$- 2 (\tan (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 5 \cos (x) d x$

Этап 5

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\tan (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) - 5 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x$

Этап 6

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$- 2 (\tan (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) - 5 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Найдем значение $\tan (x)$ в $\frac{π}{3}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$- 2 ((\tan (\frac{π}{3})) - \tan (\frac{π}{4})) - 5 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Этап 7.1.2

Найдем значение $\sin (x)$ в $\frac{π}{3}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$- 2 (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})) - 5 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$- 2 (\sqrt{3} - \tan (\frac{π}{4})) - 5 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 7.2.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1 \cdot 1) - 5 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 7.2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1 \cdot 1) - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 7.2.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1 \cdot 1) - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 7.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1) - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \sqrt{3} - 2 \cdot - 1 - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 7.3.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 7.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \sqrt{3} + 2 - 5 \frac{\sqrt{3}}{2} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 7.3.4

Объединим $- 5$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 + \frac{- 5 \sqrt{3}}{2} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 7.3.5

Умножим $- 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 + \frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + 5 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3.5.2

Объединим $5$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 + \frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 \sqrt{3} + 2 - \frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3.7

Чтобы записать $- 2 \sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 \sqrt{3}}{2} + 2 + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3.8

Объединим $- 2 \sqrt{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{5 \sqrt{3}}{2} + 2 + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3}}{2} + 2 + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3.10

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3.11

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 2}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 2 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3.14

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 2 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3.15

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + 4 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3.16

Вычтем $5 \sqrt{3}$ из $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 9 \sqrt{3} + 4 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{- 9 \sqrt{3} + 4 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Десятичная форма:

$- 2.25869472 \dots$