Математический анализ Примеры

$\int (- x^{5} + 6 e^{- 2 x}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int - x^{5} + 6 e^{- 2 x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - x^{5} d x + \int 6 e^{- 2 x} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int x^{5} d x + \int 6 e^{- 2 x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 6 e^{- 2 x} d x$

Этап 5

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 6 \int e^{- 2 x} d x$

Этап 6

Пусть $u = - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 6.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 7.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 6$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{- 6}{2} \int e^{u} d u$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{2 \cdot - 3}{2} \int e^{u} d u$

Этап 11.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Этап 11.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Этап 11.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{- 3}{1} \int e^{u} d u$

Этап 11.2.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 \int e^{u} d u$

Этап 12

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 (e^{u} + C)$

Этап 13

Упростим.

$- \frac{1}{6} x^{6} - 3 e^{u} + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$- \frac{1}{6} x^{6} - 3 e^{- 2 x} + C$