Математический анализ Примеры

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

Этап 1

Пусть $y = f (x)$ , возьмем натуральный логарифм обеих частей $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\sqrt{x})}^{x})$

Этап 2

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) = \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\ln (y) = x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3

Развернем $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\ln (y) = x (\frac{1}{2} \ln (x))$

Этап 2.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\ln (y) = \frac{x}{2} \ln (x)$

Этап 2.5

Объединим $\frac{x}{2}$ и $\ln (x)$ .

$\ln (y) = \frac{x \ln (x)}{2}$

Этап 3

Продифференцируем выражение, используя цепное правило, учитывая, что $y$ — функция от $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем левую часть $\ln (y)$ , используя цепное правило.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \ln (x)}{2}$

Этап 3.2

Продифференцируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Дифференцируем $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Этап 3.2.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x \ln (x)}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.5.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 3.2.5.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x))$

Этап 3.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \ln (x)$

Этап 3.2.6.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln (x)$

Этап 3.2.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}$

Этап 3.2.6.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 4

Изолируем $y'$ и заменим исходную функцию на $y$ в правой части.

$y' = (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $\frac{\ln (x)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$y' = (\frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Этап 5.1.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (x)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{1}{2} {\sqrt{x}}^{x}$

Этап 5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${\sqrt{x}}^{x}$ .

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$

Этап 5.4

Изменим порядок множителей в $\ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$ .

$y' = {\sqrt{x}}^{x} \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$