Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{x^{2} - 1}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 4.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 4.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Этап 4.1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Этап 4.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.6

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.7.1.2

Разделим $(A) (x - 1)$ на $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.7.3

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.7.4

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.7.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 4.1.7.5.2

Разделим $(B) (x + 1)$ на $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Этап 4.1.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Этап 4.1.7.7

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Этап 4.1.8

Перенесем $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 1 A + B$

Этап 4.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Этап 4.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = - 1 A + B$ на $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Упростим $- 1 (- B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Умножим $- 1 (- B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Этап 4.3.2.2.1.1.2

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Этап 4.3.2.2.1.2

Добавим $B$ и $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Этап 4.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Этап 4.3.3.2

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 4.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 4.3.3.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 4.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 4.5.2

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 4.5.3

Перенесем $2$ влево от $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Этап 4.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Этап 4.5.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 8

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 8.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 11

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 11.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 11.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 11.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 13

Упростим.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$

Этап 15

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$