Элемент. математика Примеры

$\frac{a^{2} - 4 a - 21}{a^{2 - 6} a + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 1

Разложим $a^{2} - 4 a - 21$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 21$ , а сумма — $- 4$ .

$- 7, 3$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{a^{2 - 6} a + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $a^{2 - 6}$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим $a^{2 - 6}$ на $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{a^{2 - 6} a^{1} + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{a^{2 - 6 + 1} + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.1.2

Вычтем $6$ из $2$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{a^{- 4 + 1} + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.1.3

Добавим $- 4$ и $1$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{a^{- 3} + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.2

Перепишем $a^{- 3}$ в виде ${(a^{- 1})}^{3}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{{(a^{- 1})}^{3} + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.3

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{{(a^{- 1})}^{3} + 2^{3}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = a^{- 1}$ и $b = 2$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{(a^{- 1} + 2) ({(a^{- 1})}^{2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{(\frac{1}{a} + 2) ({(a^{- 1})}^{2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{(\frac{1}{a} + \frac{2 a}{a}) ({(a^{- 1})}^{2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} ({(a^{- 1})}^{2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.4

Перемножим экспоненты в ${(a^{- 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (a^{- 1 \cdot 2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (a^{- 2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{a} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.7

Умножим $- \frac{1}{a} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - 2 \frac{1}{a} + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.7.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{a}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{- 2}{a} + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2}{a} + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2}{a} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.10

Чтобы записать $- \frac{2}{a}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2}{a} \cdot \frac{a}{a} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.11

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $a^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.11.1

Умножим $\frac{2}{a}$ на $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2 a}{a \cdot a} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.11.2

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2 a}{a^{1} a} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.11.3

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2 a}{a^{1} a^{1}} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.11.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2 a}{a^{1 + 1}} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2 a}{a^{2}} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1 - 2 a}{a^{2}} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.13

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1 - 2 a}{a^{2}} + \frac{4 a^{2}}{a^{2}})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 2.5.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} \cdot \frac{1 - 2 a + 4 a^{2}}{a^{2}}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 3

Умножим $\frac{1 + 2 a}{a}$ на $\frac{1 - 2 a + 4 a^{2}}{a^{2}}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a \cdot a^{2}}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 4

Умножим $a$ на $a^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $a$ на $a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{1} a^{2}}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{1 + 2}}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 4.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Этап 5

Разложим $a^{2} - 2 a - 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 35$ , а сумма — $- 2$ .

$- 7, 5$

Этап 5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}} \cdot \frac{a - 4}{(a - 7) (a + 5)}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $a - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}} \cdot \frac{a - 4}{(a - 7) (a + 5)}$

Этап 6.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a + 3}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}} \cdot \frac{a - 4}{a + 5}$

Этап 6.2

Умножим $\frac{a + 3}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}}$ на $\frac{a - 4}{a + 5}$ .

$\frac{(a + 3) (a - 4)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}} (a + 5)}$

Этап 7

Вынесем множитель $\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}$ из $\frac{(a + 3) (a - 4)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}} (a + 5)}$ .

$\frac{a^{3}}{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})} \cdot \frac{(a + 3) (a - 4)}{a + 5}$

Этап 8

Умножим $\frac{a^{3}}{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}$ на $\frac{(a + 3) (a - 4)}{a + 5}$ .

$\frac{a^{3} (a + 3) (a - 4)}{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2}) (a + 5)}$