Элемент. математика Примеры

$\frac{a^{2} + 7}{a^{2} - 25} \cdot \frac{a^{3} - 3 a^{2} + 7 a - 21}{a^{2} + 2 a - 15}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{a^{2} + 7}{a^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{a^{3} - 3 a^{2} + 7 a - 21}{a^{2} + 2 a - 15}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = 5$ .

$\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{a^{3} - 3 a^{2} + 7 a - 21}{a^{2} + 2 a - 15}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{(a^{3} - 3 a^{2}) + 7 a - 21}{a^{2} + 2 a - 15}$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{a^{2} (a - 3) + 7 (a - 3)}{a^{2} + 2 a - 15}$

Этап 2.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $a - 3$ .

$\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{(a - 3) (a^{2} + 7)}{a^{2} + 2 a - 15}$

Этап 3

Разложим $a^{2} + 2 a - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $2$ .

$- 3, 5$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{(a - 3) (a^{2} + 7)}{(a - 3) (a + 5)}$

Этап 4

Сократим общий множитель $a - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{(a - 3) (a^{2} + 7)}{(a - 3) (a + 5)}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{a^{2} + 7}{a + 5}$

Этап 5

Умножим $\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{a^{2} + 7}{a + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{a^{2} + 7}{(a + 5) (a - 5)}$ на $\frac{a^{2} + 7}{a + 5}$ .

$\frac{(a^{2} + 7) (a^{2} + 7)}{(a + 5) (a - 5) (a + 5)}$

Этап 5.2

Возведем $a^{2} + 7$ в степень $1$ .

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{1} (a^{2} + 7)}{(a + 5) (a - 5) (a + 5)}$

Этап 5.3

Возведем $a^{2} + 7$ в степень $1$ .

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{1} {(a^{2} + 7)}^{1}}{(a + 5) (a - 5) (a + 5)}$

Этап 5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{1 + 1}}{(a + 5) (a - 5) (a + 5)}$

Этап 5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{2}}{(a + 5) (a - 5) (a + 5)}$

Этап 5.6

Возведем $a + 5$ в степень $1$ .

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{2}}{{(a + 5)}^{1} (a + 5) (a - 5)}$

Этап 5.7

Возведем $a + 5$ в степень $1$ .

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{2}}{{(a + 5)}^{1} {(a + 5)}^{1} (a - 5)}$

Этап 5.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{2}}{{(a + 5)}^{1 + 1} (a - 5)}$

Этап 5.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(a^{2} + 7)}^{2}}{{(a + 5)}^{2} (a - 5)}$