Элемент. математика Примеры

$\frac{y}{y + 1} + \frac{1}{y^{2} + 3 y + 2}$

Этап 1

Разложим $y^{2} + 3 y + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{y}{y + 1} + \frac{1}{(y + 1) (y + 2)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{y}{y + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{y}{y + 1} \cdot \frac{y + 2}{y + 2} + \frac{1}{(y + 1) (y + 2)}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{y}{y + 1}$ на $\frac{y + 2}{y + 2}$ .

$\frac{y (y + 2)}{(y + 1) (y + 2)} + \frac{1}{(y + 1) (y + 2)}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{y (y + 2) + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y \cdot y + y \cdot 2 + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Этап 4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{y^{2} + y \cdot 2 + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Этап 4.3

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{y^{2} + 2 \cdot y + 1}{(y + 1) (y + 2)}$

Этап 4.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{(y + 1) (y + 2)}$

Этап 4.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Этап 4.4.3

Перепишем многочлен.

$\frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{(y + 1) (y + 2)}$

Этап 4.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y + 1) (y + 2)}$

Этап 5

Сократим общий множитель ${(y + 1)}^{2}$ и $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $y + 1$ из ${(y + 1)}^{2}$ .

$\frac{(y + 1) (y + 1)}{(y + 1) (y + 2)}$

Этап 5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(y + 1) (y + 1)}{(y + 1) (y + 2)}$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y + 1}{y + 2}$