Элемент. математика Примеры

${(\cos (A) - 2)}^{2} - 4 \sin^{2} (A)$

Этап 1

Перепишем $4 \sin^{2} (A)$ в виде ${(2 \sin (A))}^{2}$ .

${(\cos (A) - 2)}^{2} - {(2 \sin (A))}^{2}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (A) - 2$ и $b = 2 \sin (A)$ .

$(\cos (A) - 2 + 2 \sin (A)) (\cos (A) - 2 - (2 \sin (A)))$

Этап 3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(\cos (A) - 2 + 2 \sin (A)) (\cos (A) - 2 - 2 \sin (A))$

Этап 4

Развернем $(\cos (A) - 2 + 2 \sin (A)) (\cos (A) - 2 - 2 \sin (A))$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 + \cos (A) (- 2 \sin (A)) - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cos (A) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим противоположные члены в $\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 + \cos (A) (- 2 \sin (A)) - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cos (A) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos (A) (- 2 \sin (A))$ и $2 \sin (A) \cos (A)$ .

$\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) \sin (A) - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \cos (A) \sin (A) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Этап 5.1.2

Добавим $- 2 \cos (A) \sin (A)$ и $2 \cos (A) \sin (A)$ .

$\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 + 0 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Этап 5.1.3

Добавим $\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2$ и $0$ .

$\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\cos (A) \cos (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $\cos (A)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Этап 5.2.1.2

Возведем $\cos (A)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (A) \cos^{1} (A) + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Этап 5.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (A)}^{1 + 1} + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Этап 5.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (A) + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Этап 5.2.2

Перенесем $- 2$ влево от $\cos (A)$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cdot \cos (A) - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Этап 5.2.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Этап 5.2.4

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Этап 5.2.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Этап 5.2.6

Умножим $2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 \sin (A) \sin (A)$

Этап 5.2.6.2

Возведем $\sin (A)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 (\sin^{1} (A) \sin (A))$

Этап 5.2.6.3

Возведем $\sin (A)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 (\sin^{1} (A) \sin^{1} (A))$

Этап 5.2.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 {\sin (A)}^{1 + 1}$

Этап 5.2.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 \sin^{2} (A)$

Этап 5.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим противоположные члены в $\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 \sin^{2} (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вычтем $4 \sin (A)$ из $4 \sin (A)$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 0 - 4 \sin^{2} (A)$

Этап 5.3.1.2

Добавим $\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4$ и $0$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 - 4 \sin^{2} (A)$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 (1) - 4 \sin^{2} (A)$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sin^{2} (A)$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 (1) + 4 (- \sin^{2} (A))$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (A))$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 (1 - \sin^{2} (A))$

Этап 6

Применим формулу Пифагора.

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 \cos^{2} (A)$

Этап 7

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $\cos^{2} (A)$ и $4 \cos^{2} (A)$ .

$5 \cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A)$

Этап 7.2

Вычтем $2 \cos (A)$ из $- 2 \cos (A)$ .

$5 \cos^{2} (A) - 4 \cos (A)$