Элемент. математика Примеры

$\frac{b + 9}{1} + \frac{4}{b^{2} + b - 6}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим $b + 9$ на $1$ .

$b + 9 + \frac{4}{b^{2} + b - 6}$

Этап 1.2

Разложим $b^{2} + b - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$b + 9 + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 2

Чтобы записать $b$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$b \cdot \frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $b$ и $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$\frac{b ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{b ((b - 2) (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(b - 2) (b + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{b (b (b + 3) - 2 (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{b (b \cdot b + b \cdot 3 - 2 (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{b (b \cdot b + b \cdot 3 - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{b (b^{2} + b \cdot 3 - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 4.2.1.2

Перенесем $3$ влево от $b$ .

$\frac{b (b^{2} + 3 \cdot b - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{b (b^{2} + 3 b - 2 b - 6) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 4.2.2

Вычтем $2 b$ из $3 b$ .

$\frac{b (b^{2} + b - 6) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{b \cdot b^{2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $b$ на $b^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Умножим $b$ на $b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Возведем $b$ в степень $1$ .

$\frac{b^{1} b^{2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 4.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{b^{1 + 2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 4.4.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{b^{3} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 4.4.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 4.4.3

Перенесем $- 6$ влево от $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 \cdot b + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 4.5

Разложим $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 4.5.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 4.5.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} + 1^{2} - 6 \cdot 1 + 4$

Этап 4.5.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 + 1^{2} - 6 \cdot 1 + 4$

Этап 4.5.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 + 1 - 6 \cdot 1 + 4$

Этап 4.5.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 - 6 \cdot 1 + 4$

Этап 4.5.3.5

Умножим $- 6$ на $1$ .

$2 - 6 + 4$

Этап 4.5.3.6

Вычтем $6$ из $2$ .

$- 4 + 4$

Этап 4.5.3.7

Добавим $- 4$ и $4$ .

$0$

Этап 4.5.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $b - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4}{b - 1}$

Этап 4.5.5

Разделим $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ на $b - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$b$

$1$

$b^{3}$

$b^{2}$

$6 b$

$4$

Этап 4.5.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $b^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $b$ .

					$b^{2}$
	$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$

Этап 4.5.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			+	$b^{3}$	-	$b^{2}$

Этап 4.5.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $b^{3} - b^{2}$ .

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$

Этап 4.5.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$

Этап 4.5.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$

Этап 4.5.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 b^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $b$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$

Этап 4.5.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					+	$2 b^{2}$	-	$2 b$

Этап 4.5.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 b^{2} - 2 b$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$

Этап 4.5.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$

Этап 4.5.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$

Этап 4.5.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 b$ на член с максимальной степенью в делителе $b$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$

Этап 4.5.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							-	$4 b$	+	$4$

Этап 4.5.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 b + 4$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							+	$4 b$	-	$4$

Этап 4.5.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							+	$4 b$	-	$4$
										$0$

Этап 4.5.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$b^{2} + 2 b - 4$

Этап 4.5.6

Запишем $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ в виде набора множителей.

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Этап 5

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + 9 \cdot \frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $9$ и $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{9 ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4) + 9 ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Развернем $(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{b \cdot b^{2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $b$ на $b^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $b$ на $b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Возведем $b$ в степень $1$ .

$\frac{b^{1} b^{2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{b^{1 + 2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{b^{3} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{b^{3} + 2 b \cdot b + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.2.3

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Перенесем $b$ .

$\frac{b^{3} + 2 (b \cdot b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.2.4

Перенесем $- 4$ влево от $b$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 \cdot b - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.2.5

Перепишем $- 1 b^{2}$ в виде $- b^{2}$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.2.7

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.3

Вычтем $b^{2}$ из $2 b^{2}$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 4 b - 2 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.4

Вычтем $2 b$ из $- 4 b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + (9 b + 9 \cdot - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.6

Умножим $9$ на $- 2$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + (9 b - 18) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.7

Развернем $(9 b - 18) (b + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b (b + 3) - 18 (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b \cdot b + 9 b \cdot 3 - 18 (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b \cdot b + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.1

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1.1.1

Перенесем $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 (b \cdot b) + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.8.1.1.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.8.1.2

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 27 b - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.8.1.3

Умножим $- 18$ на $3$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 27 b - 18 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.8.2

Вычтем $18 b$ из $27 b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 9 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.9

Добавим $b^{2}$ и $9 b^{2}$ .

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} - 6 b + 4 + 9 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.10

Добавим $- 6 b$ и $9 b$ .

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} + 3 b + 4 - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Этап 7.11

Вычтем $54$ из $4$ .

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} + 3 b - 50}{(b - 2) (b + 3)}$