Элемент. математика Примеры

$\frac{a^{- 1} - 5}{25 - a^{- 2}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{a} - 5}{25 - a^{- 2}}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{1}{a} - 5 \cdot \frac{a}{a}}{25 - a^{- 2}}$

Этап 1.3

Объединим $- 5$ и $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{- 5 a}{a}}{25 - a^{- 2}}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{25 - a^{- 2}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{5^{2} - a^{- 2}}$

Этап 2.2

Перепишем $a^{- 2}$ в виде ${(a^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{5^{2} - {(a^{- 1})}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = a^{- 1}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{(5 + a^{- 1}) (5 - a^{- 1})}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{(5 + \frac{1}{a}) (5 - a^{- 1})}$

Этап 2.4.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{(\frac{5 a}{a} + \frac{1}{a}) (5 - a^{- 1})}$

Этап 2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{5 a + 1}{a} (5 - a^{- 1})}$

Этап 2.4.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{5 a + 1}{a} (5 - \frac{1}{a})}$

Этап 2.4.5

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{5 a + 1}{a} (\frac{5 a}{a} - \frac{1}{a})}$

Этап 2.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{5 a + 1}{a} \cdot \frac{5 a - 1}{a}}$

Этап 3

Умножим $\frac{5 a + 1}{a}$ на $\frac{5 a - 1}{a}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{(5 a + 1) (5 a - 1)}{a \cdot a}}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{(5 a + 1) (5 a - 1)}{a^{1} a}}$

Этап 4.2

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{(5 a + 1) (5 a - 1)}{a^{1} a^{1}}}$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{(5 a + 1) (5 a - 1)}{a^{1 + 1}}}$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{(5 a + 1) (5 a - 1)}{a^{2}}}$

Этап 5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1 - 5 a}{a} \cdot \frac{a^{2}}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2}$ .

$\frac{1 - 5 a}{a} \cdot \frac{a \cdot a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - 5 a}{a} \cdot \frac{a \cdot a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$(1 - 5 a) \frac{a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Этап 7

Умножим $1 - 5 a$ на $\frac{a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$ .

$\frac{(1 - 5 a) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Этап 8

Сократим общий множитель $1 - 5 a$ и $5 a - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- 1 (- 1) - 5 a) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Этап 8.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 a$ .

$\frac{(- 1 (- 1) - (5 a)) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 1) - (5 a)$ .

$\frac{- 1 (- 1 + 5 a) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Этап 8.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 (5 a - 1) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Этап 8.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (5 a - 1) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Этап 8.6

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 a}{5 a + 1}$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{a}{5 a + 1}$