Элемент. математика Примеры

$\frac{\frac{3 k^{2} - 2 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11}}{\frac{9 k^{2} - 1}{3 k^{2} + 8 k - 11}}$

Этап 1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3 k^{2} - 2 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 k$ .

$\frac{3 k^{2} - 2 (k) - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 2.1.2

Запишем $- 2$ как $1$ плюс $- 3$

$\frac{3 k^{2} + (1 - 3) k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 k^{2} + 1 k - 3 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 2.1.4

Умножим $k$ на $1$ .

$\frac{3 k^{2} + k - 3 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 k^{2} + k) - 3 k - 1}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{k (3 k + 1) - (3 k + 1)}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 k + 1$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + 14 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 11 = 33$ , а сумма — $b = 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $14$ из $14 k$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + 14 (k) + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 3.1.2

Запишем $14$ как $3$ плюс $11$

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + (3 + 11) k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k^{2} + 3 k + 11 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(3 k^{2} + 3 k) + 11 k + 11} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{3 k (k + 1) + 11 (k + 1)} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $k + 1$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 11 = - 33$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 k$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} + 8 (k) - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 4.1.2

Запишем $8$ как $- 3$ плюс $11$

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} + (- 3 + 11) k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k^{2} - 3 k + 11 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(3 k^{2} - 3 k) + 11 k - 11}{9 k^{2} - 1}$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{3 k (k - 1) + 11 (k - 1)}{9 k^{2} - 1}$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $k - 1$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{9 k^{2} - 1}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $9 k^{2}$ в виде ${(3 k)}^{2}$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{{(3 k)}^{2} - 1}$

Этап 5.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{{(3 k)}^{2} - 1^{2}}$

Этап 5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 k$ и $b = 1$ .

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{(3 k + 1) (3 k - 1)}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $3 k + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{(3 k + 1) (3 k - 1)}$

Этап 6.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{k - 1}{(k + 1) (3 k + 11)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{3 k - 1}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $3 k + 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $3 k + 11$ из $(k + 1) (3 k + 11)$ .

$\frac{k - 1}{(3 k + 11) (k + 1)} \cdot \frac{(k - 1) (3 k + 11)}{3 k - 1}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $3 k + 11$ из $(k - 1) (3 k + 11)$ .

$\frac{k - 1}{(3 k + 11) (k + 1)} \cdot \frac{(3 k + 11) (k - 1)}{3 k - 1}$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{k - 1}{(3 k + 11) (k + 1)} \cdot \frac{(3 k + 11) (k - 1)}{3 k - 1}$

Этап 6.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{k - 1}{k + 1} \cdot \frac{k - 1}{3 k - 1}$

Этап 6.3

Умножим $\frac{k - 1}{k + 1}$ на $\frac{k - 1}{3 k - 1}$ .

$\frac{(k - 1) (k - 1)}{(k + 1) (3 k - 1)}$

Этап 7

Возведем $k - 1$ в степень $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{1} (k - 1)}{(k + 1) (3 k - 1)}$

Этап 8

Возведем $k - 1$ в степень $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{1} {(k - 1)}^{1}}{(k + 1) (3 k - 1)}$

Этап 9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(k - 1)}^{1 + 1}}{(k + 1) (3 k - 1)}$

Этап 10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(k - 1)}^{2}}{(k + 1) (3 k - 1)}$