Элемент. математика Примеры

$\frac{\frac{a^{3} - y^{3}}{a^{2} - 2 a y + y^{2}}}{\frac{a^{2} - y^{2}}{a^{2} + 2 a y + y^{2}}}$

Этап 1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{a^{3} - y^{3}}{a^{2} - 2 a y + y^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = a$ и $b = y$ .

$\frac{(a - y) (a^{2} + a y + y^{2})}{a^{2} - 2 a y + y^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 a y = 2 \cdot a \cdot y$

Этап 3.2

Перепишем многочлен.

$\frac{(a - y) (a^{2} + a y + y^{2})}{a^{2} - 2 \cdot a \cdot y + y^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Этап 3.3

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = y$ .

$\frac{(a - y) (a^{2} + a y + y^{2})}{{(a - y)}^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Этап 4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $a - y$ из ${(a - y)}^{2}$ .

$\frac{(a - y) (a^{2} + a y + y^{2})}{(a - y) (a - y)} \cdot \frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(a - y) (a^{2} + a y + y^{2})}{(a - y) (a - y)} \cdot \frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{a^{2} + 2 a y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Этап 5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 a y = 2 \cdot a \cdot y$

Этап 5.2

Перепишем многочлен.

$\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot y + y^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Этап 5.3

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = y$ .

$\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{{(a + y)}^{2}}{a^{2} - y^{2}}$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = y$ .

$\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{{(a + y)}^{2}}{(a + y) (a - y)}$

Этап 7

Сократим общий множитель ${(a + y)}^{2}$ и $a + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $a + y$ из ${(a + y)}^{2}$ .

$\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{(a + y) (a + y)}{(a + y) (a - y)}$

Этап 7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{(a + y) (a + y)}{(a + y) (a - y)}$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{a + y}{a - y}$

Этап 8

Умножим $\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y} \cdot \frac{a + y}{a - y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{a^{2} + a y + y^{2}}{a - y}$ на $\frac{a + y}{a - y}$ .

$\frac{(a^{2} + a y + y^{2}) (a + y)}{(a - y) (a - y)}$

Этап 8.2

Возведем $a - y$ в степень $1$ .

$\frac{(a^{2} + a y + y^{2}) (a + y)}{{(a - y)}^{1} (a - y)}$

Этап 8.3

Возведем $a - y$ в степень $1$ .

$\frac{(a^{2} + a y + y^{2}) (a + y)}{{(a - y)}^{1} {(a - y)}^{1}}$

Этап 8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(a^{2} + a y + y^{2}) (a + y)}{{(a - y)}^{1 + 1}}$

Этап 8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(a^{2} + a y + y^{2}) (a + y)}{{(a - y)}^{2}}$