Элемент. математика Примеры

$\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) \cdot (c - a)} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) \cdot (a - b)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) \cdot (b - c)}$

Этап 1

Умножим $a - b$ на $b - c$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)} \cdot \frac{a - b}{a - b} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{b - c}{b - c}$ .

$\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)} \cdot \frac{a - b}{a - b} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)} \cdot \frac{b - c}{b - c} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(b - c) (c - a) (a - b)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{{(a - b)}^{2}}{(b - c) (c - a)}$ на $\frac{a - b}{a - b}$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} (a - b)}{(b - c) (c - a) (a - b)} + \frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)} \cdot \frac{b - c}{b - c} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{{(b - c)}^{2}}{(c - a) (a - b)}$ на $\frac{b - c}{b - c}$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} (a - b)}{(b - c) (c - a) (a - b)} + \frac{{(b - c)}^{2} (b - c)}{(c - a) (a - b) (b - c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(b - c) (c - a) (a - b)$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} (a - b)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(b - c)}^{2} (b - c)}{(c - a) (a - b) (b - c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(c - a) (a - b) (b - c)$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} (a - b)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(b - c)}^{2} (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(a - b)}^{2} (a - b) + {(b - c)}^{2} (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим ${(a - b)}^{2}$ на $a - b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Умножим ${(a - b)}^{2}$ на $a - b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Возведем $a - b$ в степень $1$ .

$\frac{{(a - b)}^{2} {(a - b)}^{1} + {(b - c)}^{2} (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(a - b)}^{2 + 1} + {(b - c)}^{2} (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{{(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{2} (b - c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.2

Умножим ${(b - c)}^{2}$ на $b - c$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим ${(b - c)}^{2}$ на $b - c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Возведем $b - c$ в степень $1$ .

$\frac{{(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{2} {(b - c)}^{1}}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{2 + 1}}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{{(a - b)}^{3} + {(b - c)}^{3}}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = a - b$ и $b = b - c$ .

$\frac{(a - b + b - c) ({(a - b)}^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Добавим $- b$ и $b$ .

$\frac{(a + 0 - c) ({(a - b)}^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.2

Добавим $a$ и $0$ .

$\frac{(a - c) ({(a - b)}^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.3

Перепишем ${(a - b)}^{2}$ в виде $(a - b) (a - b)$ .

$\frac{(a - c) ((a - b) (a - b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.4

Развернем $(a - b) (a - b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(a - c) (a (a - b) - b (a - b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(a - c) (a \cdot a + a (- b) - b (a - b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(a - c) (a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.5.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} + a (- b) - b a - b (- b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a - b (- b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.5.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.5.1.4

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.5.1.4.1

Перенесем $b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.5.1.4.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a + 1 b^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.5.1.6

Умножим $b^{2}$ на $1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - b a + b^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.5.2

Вычтем $b a$ из $- a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.5.2.1

Перенесем $b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - a b - 1 a b + b^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.5.2.2

Вычтем $a b$ из $- a b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - (a - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + (- a - - b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.7

Умножим $- - b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + (- a + 1 b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.7.2

Умножим $b$ на $1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + (- a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.8

Развернем $(- a + b) (b - c)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a (b - c) + b (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b - a (- c) + b (b - c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b - a (- c) + b \cdot b + b (- c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.9.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b - 1 \cdot - 1 a c + b \cdot b + b (- c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.9.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + 1 a c + b \cdot b + b (- c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.9.3

Умножим $a$ на $1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b \cdot b + b (- c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.9.4

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} + b (- c) + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.9.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + {(b - c)}^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.10

Перепишем ${(b - c)}^{2}$ в виде $(b - c) (b - c)$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + (b - c) (b - c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.11

Развернем $(b - c) (b - c)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b (b - c) - c (b - c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b \cdot b + b (- c) - c (b - c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b \cdot b + b (- c) - c b - c (- c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.12.1.1

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} + b (- c) - c b - c (- c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.12.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - c (- c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.12.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - 1 \cdot - 1 c \cdot c)}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.12.1.4

Умножим $c$ на $c$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.12.1.4.1

Перенесем $c$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - 1 \cdot - 1 (c \cdot c))}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.12.1.4.2

Умножим $c$ на $c$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - 1 \cdot - 1 c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.12.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b + 1 c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.12.1.6

Умножим $c^{2}$ на $1$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.12.2

Вычтем $c b$ из $- b c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.12.2.1

Перенесем $c$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - 1 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.12.2.2

Вычтем $b c$ из $- b c$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} - 2 a b + b^{2} - a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - 2 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.13

Вычтем $a b$ из $- 2 a b$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} + b^{2} - 3 a b + a c + b^{2} - b c + b^{2} - 2 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.14

Добавим $b^{2}$ и $b^{2}$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} + 2 b^{2} - 3 a b + a c - b c + b^{2} - 2 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.15

Добавим $2 b^{2}$ и $b^{2}$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - b c - 2 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.1.4.16

Вычтем $2 b c$ из $- b c$ .

$\frac{(a - c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $a - c$ и $c - a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $a$ .

$\frac{(- 1 (- a) - c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- c$ .

$\frac{(- 1 (- a) - (c)) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- a) - (c)$ .

$\frac{- 1 (- a + c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (c - a)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.2.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 (- a + c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (- a + c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.2.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (- a + c) (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c) (- a + c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.2.6

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2})}{(a - b) (b - c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2}}{(a - b) (b - c)} + \frac{{(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- (a^{2} + 3 b^{2} - 3 a b + a c - 3 b c + c^{2}) + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- a^{2} - (3 b^{2}) - (- 3 a b) - (a c) - (- 3 b c) - c^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} - (- 3 a b) - (a c) - (- 3 b c) - c^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.2.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 (a b) - (a c) - (- 3 b c) - c^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.2.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 (a b) - a c + 3 (b c) - c^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.3

Избавимся от скобок.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + {(c - a)}^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.4

Перепишем ${(c - a)}^{2}$ в виде $(c - a) (c - a)$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + (c - a) (c - a)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.5

Развернем $(c - a) (c - a)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c (c - a) - a (c - a)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c \cdot c + c (- a) - a (c - a)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c \cdot c + c (- a) - a c - a (- a)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.1

Умножим $c$ на $c$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} + c (- a) - a c - a (- a)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.6.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c - a (- a)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.6.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c - 1 \cdot - 1 a \cdot a}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.6.1.4

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.4.1

Перенесем $a$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c - 1 \cdot - 1 (a \cdot a)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.6.1.4.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c - 1 \cdot - 1 a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c + 1 a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.6.1.6

Умножим $a^{2}$ на $1$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - c a - a c + a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.6.2

Вычтем $a c$ из $- c a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Перенесем $c$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - a c - a c + a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 8.6.2.2

Вычтем $a c$ из $- a c$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - 2 a c + a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим противоположные члены в $- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - c^{2} + c^{2} - 2 a c + a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Добавим $- c^{2}$ и $c^{2}$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c + 0 - 2 a c + a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.1.2

Добавим $- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c$ и $0$ .

$\frac{- a^{2} - 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - 2 a c + a^{2}}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.1.3

Добавим $- a^{2}$ и $a^{2}$ .

$\frac{- 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - 2 a c + 0}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.1.4

Добавим $- 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - 2 a c$ и $0$ .

$\frac{- 3 b^{2} + 3 a b - a c + 3 b c - 2 a c}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.2

Вычтем $2 a c$ из $- a c$ .

$\frac{- 3 b^{2} + 3 a b - 3 a c + 3 b c}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3 b^{2} + 3 a b - 3 a c + 3 b c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 b^{2}$ .

$\frac{3 (- b^{2}) + 3 a b - 3 a c + 3 b c}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.3.2

Вынесем множитель $3$ из $3 a b$ .

$\frac{3 (- b^{2}) + 3 (a b) - 3 a c + 3 b c}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.3.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3 a c$ .

$\frac{3 (- b^{2}) + 3 (a b) + 3 (- a c) + 3 b c}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.3.4

Вынесем множитель $3$ из $3 b c$ .

$\frac{3 (- b^{2}) + 3 (a b) + 3 (- a c) + 3 (b c)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.3.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (- b^{2}) + 3 (a b)$ .

$\frac{3 (- b^{2} + a b) + 3 (- a c) + 3 (b c)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.3.6

Вынесем множитель $3$ из $3 (- b^{2} + a b) + 3 (- a c)$ .

$\frac{3 (- b^{2} + a b - a c) + 3 (b c)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.3.7

Вынесем множитель $3$ из $3 (- b^{2} + a b - a c) + 3 (b c)$ .

$\frac{3 (- b^{2} + a b - a c + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- b^{2}$ .

$\frac{3 (- (b^{2}) + a b - a c + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.5

Вынесем множитель $- 1$ из $a b$ .

$\frac{3 (- (b^{2}) - (- a b) - a c + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (b^{2}) - (- a b)$ .

$\frac{3 (- (b^{2} - a b) - a c + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- a c$ .

$\frac{3 (- (b^{2} - a b) - (a c) + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (b^{2} - a b) - (a c)$ .

$\frac{3 (- (b^{2} - a b + a c) + b c)}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.9

Вынесем множитель $- 1$ из $b c$ .

$\frac{3 (- (b^{2} - a b + a c) - (- b c))}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (b^{2} - a b + a c) - (- b c)$ .

$\frac{3 (- (b^{2} - a b + a c - b c))}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.11.1

Перепишем $- (b^{2} - a b + a c - b c)$ в виде $- 1 (b^{2} - a b + a c - b c)$ .

$\frac{3 (- 1 (b^{2} - a b + a c - b c))}{(a - b) (b - c)}$

Этап 9.11.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (b^{2} - a b + a c - b c)}{(a - b) (b - c)}$