Элемент. математика Примеры

$\frac{\sqrt{22} - \sqrt{5}}{\sqrt{22} + \sqrt{5}}$

Этап 1

Умножим $\frac{\sqrt{22} - \sqrt{5}}{\sqrt{22} + \sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{22} - \sqrt{5}}{\sqrt{22} - \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{22} - \sqrt{5}}{\sqrt{22} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{22} - \sqrt{5}}{\sqrt{22} - \sqrt{5}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\sqrt{22} - \sqrt{5}}{\sqrt{22} + \sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{22} - \sqrt{5}}{\sqrt{22} - \sqrt{5}}$ .

$\frac{(\sqrt{22} - \sqrt{5}) (\sqrt{22} - \sqrt{5})}{(\sqrt{22} + \sqrt{5}) (\sqrt{22} - \sqrt{5})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{22} - \sqrt{5}) (\sqrt{22} - \sqrt{5})}{{\sqrt{22}}^{2} - \sqrt{110} + \sqrt{110} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(\sqrt{22} - \sqrt{5}) (\sqrt{22} - \sqrt{5})}{17}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $\sqrt{22} - \sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{22} - \sqrt{5})}^{1} (\sqrt{22} - \sqrt{5})}{17}$

Этап 3.2

Возведем $\sqrt{22} - \sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{22} - \sqrt{5})}^{1} {(\sqrt{22} - \sqrt{5})}^{1}}{17}$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(\sqrt{22} - \sqrt{5})}^{1 + 1}}{17}$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(\sqrt{22} - \sqrt{5})}^{2}}{17}$

Этап 4

Перепишем ${(\sqrt{22} - \sqrt{5})}^{2}$ в виде $(\sqrt{22} - \sqrt{5}) (\sqrt{22} - \sqrt{5})$ .

$\frac{(\sqrt{22} - \sqrt{5}) (\sqrt{22} - \sqrt{5})}{17}$

Этап 5

Развернем $(\sqrt{22} - \sqrt{5}) (\sqrt{22} - \sqrt{5})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{22} (\sqrt{22} - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (\sqrt{22} - \sqrt{5})}{17}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{22} \sqrt{22} + \sqrt{22} (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (\sqrt{22} - \sqrt{5})}{17}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{22} \sqrt{22} + \sqrt{22} (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{22} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{22 \cdot 22} + \sqrt{22} (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{22} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Этап 6.1.2

Умножим $22$ на $22$ .

$\frac{\sqrt{484} + \sqrt{22} (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{22} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Этап 6.1.3

Перепишем $484$ в виде $22^{2}$ .

$\frac{\sqrt{22^{2}} + \sqrt{22} (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{22} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Этап 6.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{22 + \sqrt{22} (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{22} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Этап 6.1.5

Умножим $\sqrt{22} (- \sqrt{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{22 - \sqrt{22 \cdot 5} - \sqrt{5} \sqrt{22} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Этап 6.1.5.2

Умножим $22$ на $5$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{5} \sqrt{22} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Этап 6.1.6

Умножим $- \sqrt{5} \sqrt{22}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{22 \cdot 5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Этап 6.1.6.2

Умножим $22$ на $5$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{17}$

Этап 6.1.7

Умножим $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5}}{17}$

Этап 6.1.7.2

Умножим $\sqrt{5}$ на $1$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{17}$

Этап 6.1.7.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}{17}$

Этап 6.1.7.4

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}{17}$

Этап 6.1.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{17}$

Этап 6.1.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + {\sqrt{5}}^{2}}{17}$

Этап 6.1.8

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{17}$

Этап 6.1.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{17}$

Этап 6.1.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + 5^{\frac{2}{2}}}{17}$

Этап 6.1.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + 5^{\frac{2}{2}}}{17}$

Этап 6.1.8.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + 5^{1}}{17}$

Этап 6.1.8.5

Найдем экспоненту.

$\frac{22 - \sqrt{110} - \sqrt{110} + 5}{17}$

Этап 6.2

Добавим $22$ и $5$ .

$\frac{27 - \sqrt{110} - \sqrt{110}}{17}$

Этап 6.3

Вычтем $\sqrt{110}$ из $- \sqrt{110}$ .

$\frac{27 - 2 \sqrt{110}}{17}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{27 - 2 \sqrt{110}}{17}$

Десятичная форма:

$0.35434253 \dots$