Элемент. математика Примеры

$\frac{z^{2} + 14 z + 49}{z - 3} \div \frac{z^{2} + 13 z + 42}{z^{2} + 11 z + 30}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{z^{2} + 14 z + 49}{z - 3} \cdot \frac{z^{2} + 11 z + 30}{z^{2} + 13 z + 42}$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{z^{2} + 14 z + 7^{2}}{z - 3} \cdot \frac{z^{2} + 11 z + 30}{z^{2} + 13 z + 42}$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$14 z = 2 \cdot z \cdot 7$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{z^{2} + 2 \cdot z \cdot 7 + 7^{2}}{z - 3} \cdot \frac{z^{2} + 11 z + 30}{z^{2} + 13 z + 42}$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = z$ и $b = 7$ .

$\frac{{(z + 7)}^{2}}{z - 3} \cdot \frac{z^{2} + 11 z + 30}{z^{2} + 13 z + 42}$

Этап 3

Разложим $z^{2} + 11 z + 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $30$ , а сумма — $11$ .

$5, 6$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{{(z + 7)}^{2}}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{z^{2} + 13 z + 42}$

Этап 4

Разложим $z^{2} + 13 z + 42$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $42$ , а сумма — $13$ .

$6, 7$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{{(z + 7)}^{2}}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{(z + 6) (z + 7)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $z + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $z + 7$ из ${(z + 7)}^{2}$ .

$\frac{(z + 7) (z + 7)}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{(z + 6) (z + 7)}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $z + 7$ из $(z + 6) (z + 7)$ .

$\frac{(z + 7) (z + 7)}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{(z + 7) (z + 6)}$

Этап 5.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(z + 7) (z + 7)}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{(z + 7) (z + 6)}$

Этап 5.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{z + 7}{z - 3} \cdot \frac{(z + 5) (z + 6)}{z + 6}$

Этап 5.2

Умножим $\frac{z + 7}{z - 3}$ на $\frac{(z + 5) (z + 6)}{z + 6}$ .

$\frac{(z + 7) ((z + 5) (z + 6))}{(z - 3) (z + 6)}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $z + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(z + 7) ((z + 5) (z + 6))}{(z - 3) (z + 6)}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(z + 7) (z + 5)}{z - 3}$