Элемент. математика Примеры

$\frac{z^{3} - 1}{2 z^{2} - z - 1} \div \frac{z^{2} + z + 1}{2 z^{2} + 9 z + 4}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{z^{3} - 1}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{z^{3} - 1^{3}}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = z$ и $b = 1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2})}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $z$ на $1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1^{2})}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Этап 2.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} - z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- z$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} - (z) - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Этап 3.1.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + (1 - 2) z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + 1 z - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Этап 3.1.4

Умножим $z$ на $1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{2 z^{2} + z - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{(2 z^{2} + z) - 2 z - 1} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{z (2 z + 1) - (2 z + 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 z + 1$ .

$\frac{(z - 1) (z^{2} + z + 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Этап 4

Сократим общий множитель $z^{2} + z + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $z^{2} + z + 1$ из $(z - 1) (z^{2} + z + 1)$ .

$\frac{(z^{2} + z + 1) (z - 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(z^{2} + z + 1) (z - 1)}{(2 z + 1) (z - 1)} \cdot \frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{z^{2} + z + 1}$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{z - 1}{(2 z + 1) (z - 1)} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Этап 5

Сократим общий множитель $z - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{z - 1}{(2 z + 1) (z - 1)} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Этап 5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 z + 1} (2 z^{2} + 9 z + 4)$

Этап 6

Умножим $\frac{1}{2 z + 1}$ на $2 z^{2} + 9 z + 4$ .

$\frac{2 z^{2} + 9 z + 4}{2 z + 1}$

Этап 7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ , а сумма — $b = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 z$ .

$\frac{2 z^{2} + 9 (z) + 4}{2 z + 1}$

Этап 7.1.2

Запишем $9$ как $1$ плюс $8$

$\frac{2 z^{2} + (1 + 8) z + 4}{2 z + 1}$

Этап 7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 z^{2} + 1 z + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Этап 7.1.4

Умножим $z$ на $1$ .

$\frac{2 z^{2} + z + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Этап 7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 z^{2} + z) + 8 z + 4}{2 z + 1}$

Этап 7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{z (2 z + 1) + 4 (2 z + 1)}{2 z + 1}$

Этап 7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 z + 1$ .

$\frac{(2 z + 1) (z + 4)}{2 z + 1}$

Этап 8

Сократим общий множитель $2 z + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 z + 1) (z + 4)}{2 z + 1}$

Этап 8.2

Разделим $z + 4$ на $1$ .

$z + 4$