Элемент. математика Примеры

$\frac{n^{2} - m^{2}}{2 m - 3 n} \div \frac{m - n}{4 m^{2} - 9 n^{2}}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{n^{2} - m^{2}}{2 m - 3 n} \cdot \frac{4 m^{2} - 9 n^{2}}{m - n}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = n$ и $b = m$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{4 m^{2} - 9 n^{2}}{m - n}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $4 m^{2}$ в виде ${(2 m)}^{2}$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{{(2 m)}^{2} - 9 n^{2}}{m - n}$

Этап 3.2

Перепишем $9 n^{2}$ в виде ${(3 n)}^{2}$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{{(2 m)}^{2} - {(3 n)}^{2}}{m - n}$

Этап 3.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 m$ и $b = 3 n$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m + 3 n) (2 m - (3 n))}{m - n}$

Этап 3.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m + 3 n) (2 m - 3 n)}{m - n}$

Этап 4

Сократим общий множитель $2 m - 3 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2 m - 3 n$ из $(2 m + 3 n) (2 m - 3 n)$ .

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m - 3 n) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m - 3 n) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$(n + m) (n - m) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 5

Развернем $(n + m) (n - m)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(n (n - m) + m (n - m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(n \cdot n + n (- m) + m (n - m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(n \cdot n + n (- m) + m n + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим противоположные члены в $n \cdot n + n (- m) + m n + m (- m)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Изменим порядок множителей в членах $n (- m)$ и $m n$ .

$(n \cdot n - m n + m n + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6.1.2

Добавим $- m n$ и $m n$ .

$(n \cdot n + 0 + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6.1.3

Добавим $n \cdot n$ и $0$ .

$(n \cdot n + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $n$ на $n$ .

$(n^{2} + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(n^{2} - m \cdot m) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6.2.3

Умножим $m$ на $m$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перенесем $m$ .

$(n^{2} - (m \cdot m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $m$ на $m$ .

$(n^{2} - m^{2}) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6.3

Умножим $n^{2} - m^{2}$ на $\frac{2 m + 3 n}{m - n}$ .

$\frac{(n^{2} - m^{2}) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 7

$\frac{(n + m) (n - m) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $n - m$ и $m - n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $n$ .

$\frac{(n + m) (- 1 (- n) - m) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- m$ .

$\frac{(n + m) (- 1 (- n) - (m)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- n) - (m)$ .

$\frac{(n + m) (- 1 (- n + m)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 8.1.4

Изменим порядок членов.

$\frac{(n + m) (- 1 (m - n)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 8.1.5

Сократим общий множитель.

$\frac{(n + m) (- 1 (m - n)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 8.1.6

Разделим $((n + m) \cdot (- 1)) (2 m + 3 n)$ на $1$ .

$((n + m) \cdot (- 1)) (2 m + 3 n)$

Этап 8.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(n \cdot - 1 + m \cdot - 1) (2 m + 3 n)$

Этап 8.2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Перенесем $- 1$ влево от $n$ .

$(- 1 \cdot n + m \cdot - 1) (2 m + 3 n)$

Этап 8.2.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $m$ .

$(- 1 \cdot n - 1 \cdot m) (2 m + 3 n)$

Этап 8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $- 1 n$ в виде $- n$ .

$(- n - 1 \cdot m) (2 m + 3 n)$

Этап 8.3.2

Перепишем $- 1 m$ в виде $- m$ .

$(- n - m) (2 m + 3 n)$

Этап 9

Развернем $(- n - m) (2 m + 3 n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- n (2 m + 3 n) - m (2 m + 3 n)$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- n (2 m) - n (3 n) - m (2 m + 3 n)$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- n (2 m) - n (3 n) - m (2 m) - m (3 n)$

Этап 10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 \cdot 2 n m - n (3 n) - m (2 m) - m (3 n)$

Этап 10.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 n m - n (3 n) - m (2 m) - m (3 n)$

Этап 10.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 n m - 1 \cdot 3 n \cdot n - m (2 m) - m (3 n)$

Этап 10.1.4

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Перенесем $n$ .

$- 2 n m - 1 \cdot 3 (n \cdot n) - m (2 m) - m (3 n)$

Этап 10.1.4.2

Умножим $n$ на $n$ .

$- 2 n m - 1 \cdot 3 n^{2} - m (2 m) - m (3 n)$

Этап 10.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - m (2 m) - m (3 n)$

Этап 10.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 n m - 3 n^{2} - 1 \cdot 2 m \cdot m - m (3 n)$

Этап 10.1.7

Умножим $m$ на $m$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.7.1

Перенесем $m$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 1 \cdot 2 (m \cdot m) - m (3 n)$

Этап 10.1.7.2

Умножим $m$ на $m$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 1 \cdot 2 m^{2} - m (3 n)$

Этап 10.1.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 2 m^{2} - m (3 n)$

Этап 10.1.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 n m - 3 n^{2} - 2 m^{2} - 1 \cdot 3 m n$

Этап 10.1.10

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 2 m^{2} - 3 m n$

Этап 10.2

Вычтем $3 m n$ из $- 2 n m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перенесем $n$ .

$- 3 n^{2} - 2 m^{2} - 2 m n - 3 m n$

Этап 10.2.2

Вычтем $3 m n$ из $- 2 m n$ .

$- 3 n^{2} - 2 m^{2} - 5 m n$

Этап 11

Перенесем $- 3 n^{2}$ .

$- 2 m^{2} - 5 m n - 3 n^{2}$