Элемент. математика Примеры

\frac{n^{2} - m^{2}}{2 m - 3 n} \div \frac{m - n}{4 m^{2} - 9 n^{2}}

$\frac{n^{2} - m^{2}}{2 m - 3 n} \div \frac{m - n}{4 m^{2} - 9 n^{2}}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

\frac{n^{2} - m^{2}}{2 m - 3 n} \cdot \frac{4 m^{2} - 9 n^{2}}{m - n}

$\frac{n^{2} - m^{2}}{2 m - 3 n} \cdot \frac{4 m^{2} - 9 n^{2}}{m - n}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = n

$a = n$ и

b = m

$b = m$ .

\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{4 m^{2} - 9 n^{2}}{m - n}

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{4 m^{2} - 9 n^{2}}{m - n}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем

4 m^{2}

$4 m^{2}$ в виде

{(2 m)}^{2}

${(2 m)}^{2}$ .

\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{{(2 m)}^{2} - 9 n^{2}}{m - n}

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{{(2 m)}^{2} - 9 n^{2}}{m - n}$

Этап 3.2

Перепишем

9 n^{2}

$9 n^{2}$ в виде

{(3 n)}^{2}

${(3 n)}^{2}$ .

\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{{(2 m)}^{2} - {(3 n)}^{2}}{m - n}

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{{(2 m)}^{2} - {(3 n)}^{2}}{m - n}$

Этап 3.3

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = 2 m

$a = 2 m$ и

b = 3 n

$b = 3 n$ .

\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m + 3 n) (2 m - (3 n))}{m - n}

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m + 3 n) (2 m - (3 n))}{m - n}$

Этап 3.4

Умножим

3

$3$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m + 3 n) (2 m - 3 n)}{m - n}

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m + 3 n) (2 m - 3 n)}{m - n}$

\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m + 3 n) (2 m - 3 n)}{m - n}

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m + 3 n) (2 m - 3 n)}{m - n}$

Этап 4

Сократим общий множитель

2 m - 3 n

$2 m - 3 n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель

2 m - 3 n

$2 m - 3 n$ из

(2 m + 3 n) (2 m - 3 n)

$(2 m + 3 n) (2 m - 3 n)$ .

\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m - 3 n) (2 m + 3 n)}{m - n}

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m - 3 n) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(n + m) (n - m)}{2 m - 3 n} \cdot \frac{(2 m - 3 n) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$(n + m) (n - m) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 5

Развернем

$(n + m) (n - m)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(n (n - m) + m (n - m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(n \cdot n + n (- m) + m (n - m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(n \cdot n + n (- m) + m n + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим противоположные члены в

$n \cdot n + n (- m) + m n + m (- m)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Изменим порядок множителей в членах

$n (- m)$ и

$m n$ .

$(n \cdot n - m n + m n + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6.1.2

Добавим

$- m n$ и

$m n$ .

$(n \cdot n + 0 + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6.1.3

Добавим

$n \cdot n$ и

$0$ .

$(n \cdot n + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим

$n$ на

$n$ .

$(n^{2} + m (- m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(n^{2} - m \cdot m) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6.2.3

Умножим

$m$ на

$m$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перенесем

$m$ .

$(n^{2} - (m \cdot m)) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6.2.3.2

Умножим

$m$ на

$m$ .

$(n^{2} - m^{2}) \frac{2 m + 3 n}{m - n}$

Этап 6.3

Умножим

$n^{2} - m^{2}$ на

$\frac{2 m + 3 n}{m - n}$ .

$\frac{(n^{2} - m^{2}) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 7

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

$a = n$ и

$b = m$ .

$\frac{(n + m) (n - m) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель

$n - m$ и

$m - n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель

$- 1$ из

$n$ .

$\frac{(n + m) (- 1 (- n) - m) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- m$ .

$\frac{(n + m) (- 1 (- n) - (m)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 8.1.3

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- 1 (- n) - (m)$ .

$\frac{(n + m) (- 1 (- n + m)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 8.1.4

Изменим порядок членов.

$\frac{(n + m) (- 1 (m - n)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 8.1.5

Сократим общий множитель.

$\frac{(n + m) (- 1 (m - n)) (2 m + 3 n)}{m - n}$

Этап 8.1.6

Разделим

$((n + m) \cdot (- 1)) (2 m + 3 n)$ на

$1$ .

$((n + m) \cdot (- 1)) (2 m + 3 n)$

Этап 8.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(n \cdot - 1 + m \cdot - 1) (2 m + 3 n)$

Этап 8.2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Перенесем

$- 1$ влево от

$n$ .

$(- 1 \cdot n + m \cdot - 1) (2 m + 3 n)$

Этап 8.2.2.2

Перенесем

$- 1$ влево от

$m$ .

$(- 1 \cdot n - 1 \cdot m) (2 m + 3 n)$

Этап 8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем

$- 1 n$ в виде

$- n$ .

$(- n - 1 \cdot m) (2 m + 3 n)$

Этап 8.3.2

Перепишем

$- 1 m$ в виде

$- m$ .

$(- n - m) (2 m + 3 n)$

Этап 9

Развернем

$(- n - m) (2 m + 3 n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- n (2 m + 3 n) - m (2 m + 3 n)$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- n (2 m) - n (3 n) - m (2 m + 3 n)$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- n (2 m) - n (3 n) - m (2 m) - m (3 n)$

Этап 10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 \cdot 2 n m - n (3 n) - m (2 m) - m (3 n)$

Этап 10.1.2

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$- 2 n m - n (3 n) - m (2 m) - m (3 n)$

Этап 10.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 n m - 1 \cdot 3 n \cdot n - m (2 m) - m (3 n)$

Этап 10.1.4

Умножим

$n$ на

$n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Перенесем

$n$ .

$- 2 n m - 1 \cdot 3 (n \cdot n) - m (2 m) - m (3 n)$

Этап 10.1.4.2

Умножим

$n$ на

$n$ .

$- 2 n m - 1 \cdot 3 n^{2} - m (2 m) - m (3 n)$

Этап 10.1.5

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - m (2 m) - m (3 n)$

Этап 10.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 n m - 3 n^{2} - 1 \cdot 2 m \cdot m - m (3 n)$

Этап 10.1.7

Умножим

$m$ на

$m$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.7.1

Перенесем

$m$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 1 \cdot 2 (m \cdot m) - m (3 n)$

Этап 10.1.7.2

Умножим

$m$ на

$m$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 1 \cdot 2 m^{2} - m (3 n)$

Этап 10.1.8

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 2 m^{2} - m (3 n)$

Этап 10.1.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 n m - 3 n^{2} - 2 m^{2} - 1 \cdot 3 m n$

Этап 10.1.10

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$- 2 n m - 3 n^{2} - 2 m^{2} - 3 m n$

Этап 10.2

Вычтем

$3 m n$ из

$- 2 n m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перенесем

$n$ .

$- 3 n^{2} - 2 m^{2} - 2 m n - 3 m n$

Этап 10.2.2

Вычтем

$3 m n$ из

$- 2 m n$ .

$- 3 n^{2} - 2 m^{2} - 5 m n$

Этап 11

Перенесем

$- 3 n^{2}$ .

$- 2 m^{2} - 5 m n - 3 n^{2}$