Элемент. математика Примеры

$\frac{k^{2} - k}{k^{2} - 1} \div \frac{k + 1}{k^{2} + 2 k + 1}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{k^{2} - k}{k^{2} - 1} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Этап 2

Вынесем множитель $k$ из $k^{2} - k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $k$ из $k^{2}$ .

$\frac{k \cdot k - k}{k^{2} - 1} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $k$ из $- k$ .

$\frac{k \cdot k + k \cdot - 1}{k^{2} - 1} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $k$ из $k \cdot k + k \cdot - 1$ .

$\frac{k (k - 1)}{k^{2} - 1} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{k (k - 1)}{k^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = k$ и $b = 1$ .

$\frac{k (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Этап 4

Сократим общий множитель $k - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{k (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{k}{k + 1} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1}{k + 1}$

Этап 5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{k}{k + 1} \cdot \frac{k^{2} + 2 k + 1^{2}}{k + 1}$

Этап 5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 k = 2 \cdot k \cdot 1$

Этап 5.3

Перепишем многочлен.

$\frac{k}{k + 1} \cdot \frac{k^{2} + 2 \cdot k \cdot 1 + 1^{2}}{k + 1}$

Этап 5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = k$ и $b = 1$ .

$\frac{k}{k + 1} \cdot \frac{{(k + 1)}^{2}}{k + 1}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $k + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $k + 1$ из ${(k + 1)}^{2}$ .

$\frac{k}{k + 1} \cdot \frac{(k + 1) (k + 1)}{k + 1}$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{k}{k + 1} \cdot \frac{(k + 1) (k + 1)}{k + 1}$

Этап 6.1.3

Перепишем это выражение.

$k \frac{k + 1}{k + 1}$

Этап 6.2

Объединим $k$ и $\frac{k + 1}{k + 1}$ .

$\frac{k (k + 1)}{k + 1}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $k + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{k (k + 1)}{k + 1}$

Этап 6.3.2

Разделим $k$ на $1$ .

$k$