Элемент. математика Примеры

$\frac{p^{2} - 4}{3 p^{2} + 3 p w} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{p^{2} - 2^{2}}{3 p^{2} + 3 p w} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = p$ и $b = 2$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p^{2} + 3 p w} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Этап 2

Вынесем множитель $3 p$ из $3 p^{2} + 3 p w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $3 p$ из $3 p^{2}$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p) + 3 p w} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $3 p$ из $3 p w$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p) + 3 p (w)} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $3 p$ из $3 p (p) + 3 p (w)$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{p^{2} + 6 p + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{(p^{2} + 6 p) + p w + 6 w}{p^{2} + 8 p + 12}$

Этап 3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{p (p + 6) + w (p + 6)}{p^{2} + 8 p + 12}$

Этап 3.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $p + 6$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{(p + 6) (p + w)}{p^{2} + 8 p + 12}$

Этап 4

Разложим $p^{2} + 8 p + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $8$ .

$2, 6$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{(p + 6) (p + w)}{(p + 2) (p + 6)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $p + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(p + 2) (p - 2)}{3 p (p + w)} \cdot \frac{(p + 6) (p + w)}{(p + 2) (p + 6)}$

Этап 5.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{p - 2}{3 p (p + w)} \cdot \frac{(p + 6) (p + w)}{p + 6}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $p + w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $p + w$ из $3 p (p + w)$ .

$\frac{p - 2}{(p + w) (3 p)} \cdot \frac{(p + 6) (p + w)}{p + 6}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $p + w$ из $(p + 6) (p + w)$ .

$\frac{p - 2}{(p + w) (3 p)} \cdot \frac{(p + w) (p + 6)}{p + 6}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{p - 2}{(p + w) (3 p)} \cdot \frac{(p + w) (p + 6)}{p + 6}$

Этап 5.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{p - 2}{3 p} \cdot \frac{p + 6}{p + 6}$

Этап 5.3

Умножим $\frac{p - 2}{3 p}$ на $\frac{p + 6}{p + 6}$ .

$\frac{(p - 2) (p + 6)}{3 p (p + 6)}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $p + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(p - 2) (p + 6)}{3 p (p + 6)}$

Этап 5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{p - 2}{3 p}$