Элемент. математика Примеры

$\frac{y^{3} - 27}{y^{2} + y - 56} \cdot \frac{y^{2} + 11 y + 24}{y^{2} - 9}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{y^{3} - 3^{3}}{y^{2} + y - 56} \cdot \frac{y^{2} + 11 y + 24}{y^{2} - 9}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = y$ и $b = 3$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + y \cdot 3 + 3^{2})}{y^{2} + y - 56} \cdot \frac{y^{2} + 11 y + 24}{y^{2} - 9}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 \cdot y + 3^{2})}{y^{2} + y - 56} \cdot \frac{y^{2} + 11 y + 24}{y^{2} - 9}$

Этап 1.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{y^{2} + y - 56} \cdot \frac{y^{2} + 11 y + 24}{y^{2} - 9}$

Этап 2

Разложим $y^{2} + y - 56$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 56$ , а сумма — $1$ .

$- 7, 8$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y - 7) (y + 8)} \cdot \frac{y^{2} + 11 y + 24}{y^{2} - 9}$

Этап 3

Разложим $y^{2} + 11 y + 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $24$ , а сумма — $11$ .

$3, 8$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y - 7) (y + 8)} \cdot \frac{(y + 3) (y + 8)}{y^{2} - 9}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y - 7) (y + 8)} \cdot \frac{(y + 3) (y + 8)}{y^{2} - 3^{2}}$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 3$ .

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9)}{(y - 7) (y + 8)} \cdot \frac{(y + 3) (y + 8)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9) ((y + 3) (y + 8))}{(y - 7) (y + 8) ((y + 3) (y - 3))}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(y - 3) (y^{2} + 3 y + 9) ((y + 3) (y + 8))}{(y - 7) (y + 8) ((y + 3) (y - 3))}$

Этап 5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(y^{2} + 3 y + 9) ((y + 3) (y + 8))}{(y - 7) (y + 8) (y + 3)}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(y^{2} + 3 y + 9) ((y + 3) (y + 8))}{(y - 7) (y + 8) (y + 3)}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(y^{2} + 3 y + 9) (y + 8)}{(y - 7) (y + 8)}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $y + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(y^{2} + 3 y + 9) (y + 8)}{(y - 7) (y + 8)}$

Этап 5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} + 3 y + 9}{y - 7}$