Элемент. математика Примеры

$\frac{8}{t^{2} - 2 t - 3} + \frac{4}{t^{2} - 8 t + 15}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $t^{2} - 2 t - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{8}{(t - 3) (t + 1)} + \frac{4}{t^{2} - 8 t + 15}$

Этап 1.2

Разложим $t^{2} - 8 t + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $15$ , а сумма — $- 8$ .

$- 5, - 3$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{8}{(t - 3) (t + 1)} + \frac{4}{(t - 5) (t - 3)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{8}{(t - 3) (t + 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t - 5}{t - 5}$ .

$\frac{8}{(t - 3) (t + 1)} \cdot \frac{t - 5}{t - 5} + \frac{4}{(t - 5) (t - 3)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{4}{(t - 5) (t - 3)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{8}{(t - 3) (t + 1)} \cdot \frac{t - 5}{t - 5} + \frac{4}{(t - 5) (t - 3)} \cdot \frac{t + 1}{t + 1}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(t - 3) (t + 1) (t - 5)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{8}{(t - 3) (t + 1)}$ на $\frac{t - 5}{t - 5}$ .

$\frac{8 (t - 5)}{(t - 3) (t + 1) (t - 5)} + \frac{4}{(t - 5) (t - 3)} \cdot \frac{t + 1}{t + 1}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{4}{(t - 5) (t - 3)}$ на $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{8 (t - 5)}{(t - 3) (t + 1) (t - 5)} + \frac{4 (t + 1)}{(t - 5) (t - 3) (t + 1)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(t - 3) (t + 1) (t - 5)$ .

$\frac{8 (t - 5)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)} + \frac{4 (t + 1)}{(t - 5) (t - 3) (t + 1)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $(t - 5) (t - 3) (t + 1)$ .

$\frac{8 (t - 5)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)} + \frac{4 (t + 1)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 (t - 5) + 4 (t + 1)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $4$ из $8 (t - 5) + 4 (t + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 (t - 5)$ .

$\frac{4 (2 (t - 5)) + 4 (t + 1)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 (t - 5)) + 4 (t + 1)$ .

$\frac{4 (2 (t - 5) + t + 1)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (2 t + 2 \cdot - 5 + t + 1)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{4 (2 t - 10 + t + 1)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Этап 6.4

Добавим $2 t$ и $t$ .

$\frac{4 (3 t - 10 + 1)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Этап 6.5

Добавим $- 10$ и $1$ .

$\frac{4 (3 t - 9)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Этап 6.6

Вынесем множитель $3$ из $3 t - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 t$ .

$\frac{4 (3 (t) - 9)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Этап 6.6.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$\frac{4 (3 t + 3 \cdot - 3)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Этап 6.6.3

Вынесем множитель $3$ из $3 t + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{4 (3 (t - 3))}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

$\frac{4 \cdot 3 (t - 3)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Этап 6.7

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 (t - 3)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $t - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 (t - 3)}{(t + 1) (t - 3) (t - 5)}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{12}{(t + 1) (t - 5)}$