Элемент. математика Примеры

$\frac{8 r^{3} + s^{3}}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \div \frac{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{8 r^{3} + s^{3}}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $8 r^{3}$ в виде ${(2 r)}^{3}$ .

$\frac{{(2 r)}^{3} + s^{3}}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 2 r$ и $b = s$ .

$\frac{(2 r + s) ({(2 r)}^{2} - (2 r) s + s^{2})}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило умножения к $2 r$ .

$\frac{(2 r + s) (2^{2} r^{2} - (2 r) s + s^{2})}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 2.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - (2 r) s + s^{2})}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $s$ из $2 r^{2} \cdot (3 r s) + s^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $s$ из $2 r^{2} \cdot (3 r s)$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 r^{2} \cdot (3 r)) + s^{2}} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $s$ из $s^{2}$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 r^{2} \cdot (3 r)) + s \cdot s} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $s$ из $s (2 r^{2} \cdot (3 r)) + s \cdot s$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 r^{2} \cdot (3 r) + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 \cdot 3 r^{2} r + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $r^{2}$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем $r$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 \cdot 3 (r \cdot r^{2}) + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 3.3.2

Умножим $r$ на $r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $r$ в степень $1$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 \cdot 3 (r^{1} r^{2}) + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 \cdot 3 r^{1 + 2} + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (2 \cdot 3 r^{3} + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{4 r^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $4 r^{2}$ в виде ${(2 r)}^{2}$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r)}^{2} + 4 r s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 r s = 2 \cdot (2 r) \cdot s$

Этап 4.3

Перепишем многочлен.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r)}^{2} + 2 \cdot (2 r) \cdot s + s^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 2 r$ и $b = s$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $3$ из $12 r^{2} - 6 r + 3 s^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $12 r^{2}$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{3 (4 r^{2}) - 6 r + 3 s^{2}}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6 r$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{3 (4 r^{2}) + 3 (- 2 r) + 3 s^{2}}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 s^{2}$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{3 (4 r^{2}) + 3 (- 2 r) + 3 (s^{2})}$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (4 r^{2}) + 3 (- 2 r)$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{3 (4 r^{2} - 2 r) + 3 (s^{2})}$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (4 r^{2} - 2 r) + 3 (s^{2})$ .

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s)} \cdot \frac{{(2 r + s)}^{2}}{3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2})}$

Этап 5.2

Объединим.

$\frac{(2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2}) {(2 r + s)}^{2}}{s (6 r^{3} + s) (3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2}))}$

Этап 6

Умножим $2 r + s$ на ${(2 r + s)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем ${(2 r + s)}^{2}$ .

$\frac{{(2 r + s)}^{2} (2 r + s) (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s) (3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2}))}$

Этап 6.2

Умножим ${(2 r + s)}^{2}$ на $2 r + s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $2 r + s$ в степень $1$ .

$\frac{{(2 r + s)}^{2} {(2 r + s)}^{1} (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s) (3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2}))}$

Этап 6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(2 r + s)}^{2 + 1} (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s) (3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2}))}$

Этап 6.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{{(2 r + s)}^{3} (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{s (6 r^{3} + s) (3 (4 r^{2} - 2 r + s^{2}))}$

Этап 7

Перенесем $3$ влево от $s (6 r^{3} + s)$ .

$\frac{{(2 r + s)}^{3} (4 r^{2} - 2 r s + s^{2})}{3 s (6 r^{3} + s) (4 r^{2} - 2 r + s^{2})}$